Osilasi paksa dapat terjadi. Getaran paksa. Resonansi. Contoh pemecahan masalah

Agar sistem dapat melakukan osilasi yang tidak teredam, maka perlu dilakukan kompensasi terhadap hilangnya energi osilasi akibat gesekan dari luar. Untuk memastikan bahwa energi osilasi sistem tidak berkurang, biasanya diberikan gaya yang bekerja secara berkala pada sistem (kita akan menyebutnya gaya yang memaksa, dan osilasi tersebut dipaksa).

DEFINISI: dipaksa Ini adalah osilasi yang terjadi dalam sistem osilasi di bawah pengaruh gaya eksternal yang berubah secara berkala.

Kekuatan ini biasanya memainkan peran ganda:

Pertama, ia mengguncang sistem dan memberinya sejumlah energi;

Kedua, secara berkala mengisi kembali energi yang hilang (konsumsi energi) untuk mengatasi kekuatan hambatan dan gesekan.

Biarkan kekuatan pendorong berubah seiring waktu menurut hukum:

Mari kita buat persamaan gerak untuk sistem yang berosilasi di bawah pengaruh gaya tersebut. Kami berasumsi bahwa sistem juga dipengaruhi oleh gaya kuasi-elastis dan gaya hambatan medium (yang berlaku dengan asumsi osilasi kecil).

Maka persamaan gerak sistem akan tampak seperti:

Atau .

Setelah melakukan substitusi , , - frekuensi alami osilasi sistem, kita memperoleh persamaan diferensial linier tak homogen orde ke-2:

Dari teori persamaan diferensial diketahui bahwa penyelesaian umum persamaan tak homogen sama dengan jumlah penyelesaian umum persamaan homogen dan penyelesaian khusus persamaan tak homogen.

Solusi umum persamaan homogen diketahui:

,

Di mana ; A 0 dan A- konstanta sewenang-wenang.

.

Dengan menggunakan diagram vektor, Anda dapat memverifikasi kebenaran asumsi ini, dan juga menentukan nilai “ A" Dan " J”.

Amplitudo osilasi ditentukan oleh ekspresi berikut:

.

Arti " J”, yang merupakan besarnya jeda fase dari osilasi paksa dari tenaga penggerak yang menentukannya, ditentukan juga dari diagram vektor dan berjumlah:

.

Akhirnya, solusi khusus dari persamaan tak homogen akan berbentuk:

(8.18)

Fungsi ini, dikombinasikan dengan

(8.19)

memberikan solusi umum persamaan diferensial tak homogen yang menggambarkan perilaku sistem di bawah osilasi paksa. Istilah (8.19) memainkan peran penting dalam tahap awal proses, selama apa yang disebut pembentukan osilasi (Gbr. 8.10).

Seiring berjalannya waktu, karena faktor eksponensial, peran suku kedua (8.19) semakin berkurang, dan setelah waktu yang cukup lama dapat diabaikan, hanya mempertahankan suku (8.18) dalam penyelesaiannya.

Jadi, fungsi (8.18) menggambarkan osilasi paksa dalam kondisi tunak. Mereka mewakili osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi gaya penggerak. Amplitudo osilasi paksa sebanding dengan amplitudo gaya penggerak. Untuk sistem osilasi tertentu (ditentukan oleh w 0 dan b), amplitudo bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Osilasi paksa tertinggal dari gaya penggerak dalam fase, dan besarnya jeda “j” juga bergantung pada frekuensi gaya penggerak.

Ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak mengarah pada fakta bahwa pada frekuensi tertentu yang ditentukan untuk sistem tertentu, amplitudo osilasi mencapai nilai maksimum. Sistem osilasi ternyata sangat responsif terhadap aksi gaya penggerak pada frekuensi ini. Fenomena ini disebut resonansi, dan frekuensi yang sesuai disebut frekuensi resonansi.

DEFINISI: fenomena di mana terjadi peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa disebut resonansi.

Frekuensi resonansi ditentukan dari kondisi maksimum amplitudo osilasi paksa:

. (8.20)

Kemudian, dengan mengganti nilai ini ke dalam ekspresi amplitudo, kita mendapatkan:

. (8.21)

Dengan tidak adanya resistansi sedang, amplitudo osilasi pada resonansi akan berubah menjadi tak terhingga; frekuensi resonansi pada kondisi yang sama (b = 0) bertepatan dengan frekuensi osilasi alami.

Ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak (atau, yang sama, pada frekuensi osilasi) dapat direpresentasikan secara grafis (Gbr. 8.11). Kurva individu sesuai dengan nilai “b” yang berbeda. Semakin kecil “b”, semakin tinggi dan ke kanan letak maksimum kurva ini (lihat ekspresi untuk w res.). Dengan redaman yang sangat besar, resonansi tidak diamati - dengan meningkatnya frekuensi, amplitudo osilasi paksa berkurang secara monoton (kurva bawah pada Gambar 8.11).

Himpunan grafik yang disajikan sesuai dengan nilai b yang berbeda disebut kurva resonansi.

Catatan mengenai kurva resonansi:

Ketika w®0 cenderung, semua kurva mempunyai nilai bukan nol yang sama, sama dengan . Nilai ini mewakili perpindahan dari posisi setimbang yang diterima sistem di bawah pengaruh gaya konstan F 0 .

Untuk w®¥, semua kurva cenderung asimtotik ke nol, karena pada frekuensi tinggi, gaya berubah arah dengan sangat cepat sehingga sistem tidak mempunyai waktu untuk bergeser dari posisi setimbangnya.

Semakin kecil b, semakin besar amplitudo di dekat resonansi yang berubah seiring dengan frekuensi, semakin “tajam” maksimumnya.

Contoh:

Fenomena resonansi seringkali bermanfaat, terutama di bidang akustik dan teknik radio.

Berbeda dengan osilasi bebas, ketika sistem hanya menerima satu kali (saat sistem dipindahkan), dalam kasus osilasi paksa, sistem menyerap energi ini dari sumber gaya periodik eksternal secara terus menerus. Energi ini mengisi kembali kerugian yang dikeluarkan untuk mengatasi, dan oleh karena itu jumlah totalnya tetap tidak berubah.

Getaran paksa, tidak seperti getaran bebas, dapat terjadi pada frekuensi berapa pun. bertepatan dengan frekuensi gaya luar yang bekerja pada sistem osilasi. Dengan demikian, frekuensi osilasi paksa tidak ditentukan oleh sifat-sifat sistem itu sendiri, tetapi oleh frekuensi pengaruh eksternal.

Contoh getaran paksa adalah getaran ayunan anak, getaran jarum pada mesin jahit, getaran piston pada silinder mesin mobil, getaran pegas mobil pada jalan yang kasar, dan lain-lain.

Resonansi

DEFINISI

Resonansi– ini adalah fenomena peningkatan tajam dalam osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami sistem osilasi.

Resonansi muncul karena fakta bahwa ketika gaya eksternal, yang bekerja seiring waktu dengan getaran bebas, selalu memiliki arah yang sama dari benda yang berosilasi dan melakukan kerja positif: energi benda yang berosilasi meningkat dan menjadi besar. Jika gaya eksternal bekerja “tidak sesuai dengan langkahnya”, maka gaya ini secara bergantian melakukan kerja negatif dan positif dan, sebagai akibatnya, energi sistem sedikit berubah.

Gambar 1 menunjukkan ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak. Terlihat bahwa amplitudo ini mencapai maksimum pada nilai frekuensi tertentu, yaitu di , dimana adalah frekuensi alami sistem osilasi. Kurva 1 dan 2 berbeda besarnya gaya geseknya. Pada gaya gesekan rendah (kurva 1), kurva resonansi mempunyai maksimum yang tajam; pada gaya gesekan yang lebih tinggi (kurva 2), tidak ada maksimum yang tajam.

Fenomena resonansi sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Jika jendela-jendela ruangan mulai bergetar ketika ada truk besar melintas di jalan, berarti frekuensi getaran alami kaca sama dengan frekuensi getaran mobil. Jika gelombang laut beresonansi dengan periode kapal, maka gulungannya menjadi sangat kuat.

Fenomena resonansi harus diperhitungkan ketika merancang jembatan, bangunan dan struktur lain yang mengalami getaran karena beban, jika tidak, dalam kondisi tertentu struktur tersebut dapat hancur. Namun, resonansi juga dapat bermanfaat. Fenomena resonansi digunakan ketika menyetel penerima radio ke frekuensi siaran tertentu, serta dalam banyak kasus lainnya.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

CONTOH 2

Mari kita kembali ke Gambar 53. Dengan menggerakkan bola dari titik O (posisi keseimbangan) ke titik B, kita meregangkan pegas. Pada saat yang sama, kita melakukan usaha tertentu untuk mengatasi gaya elastisitasnya, yang menyebabkan pegas memperoleh energi potensial. Jika sekarang bola dilepaskan, maka saat mendekati titik O, deformasi pegas dan energi potensial bandul akan berkurang, serta kecepatan dan energi kinetik akan meningkat.

Mari kita asumsikan bahwa kehilangan energi untuk mengatasi gaya gesekan selama pergerakan pendulum dapat diabaikan. Kemudian, menurut hukum kekekalan energi, energi mekanik total bandul (yaitu E p + E k) pada setiap saat dapat dianggap sama dan sama dengan energi potensial yang awalnya kita berikan ke pegas, meregangkannya sepanjang ruas OB. Dalam hal ini pendulum dapat berosilasi selama yang diinginkan dengan amplitudo konstan sama dengan OB.

Hal ini akan terjadi jika tidak ada kehilangan energi selama pergerakan.

Namun kenyataannya selalu ada kehilangan energi. Energi mekanik dihabiskan, misalnya, untuk melakukan usaha mengatasi gaya hambatan udara, sehingga berubah menjadi energi dalam. Amplitudo osilasi berangsur-angsur berkurang, dan setelah beberapa waktu osilasi berhenti. Osilasi seperti itu disebut teredam (Gbr. 66).

Beras. 66. Grafik amplitudo osilasi bebas yang terjadi di air dan udara terhadap waktu

Semakin besar resistensi terhadap gerakan, semakin cepat getarannya berhenti. Misalnya, getaran meluruh lebih cepat di air daripada di udara (Gbr. 66, a, b).

Sampai saat ini kita telah membahas osilasi bebas, yaitu osilasi yang terjadi karena adanya cadangan energi awal.

Osilasi bebas selalu teredam, karena seluruh pasokan energi yang awalnya diberikan ke sistem osilasi pada akhirnya digunakan untuk melakukan usaha untuk mengatasi gaya gesekan dan hambatan medium (yaitu, energi mekanik berubah menjadi energi internal). Oleh karena itu, getaran bebas hampir tidak memiliki penerapan praktis.

Agar osilasi tidak teredam, energi yang hilang selama setiap periode osilasi perlu diisi kembali. Hal ini dapat dilakukan dengan bekerja pada benda yang berosilasi dengan gaya yang berubah secara berkala. Misalnya, dengan setiap kali mendorong ayunan sesuai dengan getarannya, Anda dapat memastikan bahwa getaran tersebut tidak memudar.

• Osilasi yang dilakukan oleh suatu benda di bawah pengaruh gaya eksternal yang berubah secara berkala disebut osilasi paksa

Gaya eksternal yang bervariasi secara periodik yang menyebabkan osilasi ini disebut kekuatan koersif.

Jika gaya gaya yang berubah secara periodik mulai bekerja pada ayunan stasioner, maka untuk beberapa waktu amplitudo osilasi paksa ayunan akan meningkat, yaitu amplitudo setiap osilasi berikutnya akan lebih besar dari osilasi sebelumnya. Peningkatan amplitudo akan berhenti bila energi yang hilang akibat ayunan untuk mengatasi gaya gesekan menjadi sama dengan energi yang diterimanya dari luar (akibat kerja gaya penggerak).

Dalam kebanyakan kasus, frekuensi osilasi paksa yang konstan tidak terjadi segera, tetapi beberapa saat setelah permulaannya.

Ketika amplitudo dan frekuensi osilasi paksa berhenti berubah, osilasi tersebut dikatakan terjadi.

Frekuensi osilasi paksa dalam keadaan tunak sama dengan frekuensi gaya penggerak.

Getaran paksa dapat dilakukan bahkan oleh benda yang bukan sistem osilasi, misalnya jarum mesin jahit, piston pada mesin pembakaran dalam, dan masih banyak lagi yang lainnya. Getaran benda tersebut juga terjadi pada frekuensi gaya penggerak.

Osilasi paksa tidak teredam. Hal ini terjadi selama kekuatan pendorong masih bekerja.

Pertanyaan

1. Apa yang dapat dikatakan tentang energi mekanik total bandul yang berosilasi pada suatu waktu, dengan asumsi tidak ada energi yang hilang? Menurut hukum apa hal ini dapat dinyatakan?
2. Bagaimana amplitudo osilasi bebas yang terjadi dalam kondisi nyata berubah seiring waktu? Apa alasan perubahan ini?
3. Di manakah pendulum akan berhenti berosilasi lebih cepat - di udara atau di air? Mengapa? (Cadangan energi awal sama pada kedua kasus.)
4. Bisakah osilasi bebas tidak teredam? Mengapa? Apa yang perlu dilakukan agar osilasi tidak teredam?
5. Apa yang dapat dikatakan tentang frekuensi osilasi paksa pada kondisi tunak dan frekuensi gaya penggerak?
6. Bisakah benda yang bukan sistem osilasi melakukan osilasi paksa? Berikan contoh.
7. Berapa lama osilasi paksa terjadi?

Latihan 25

Hilangnya energi mekanik pada setiap sistem osilasi karena adanya gaya gesekan tidak dapat dihindari, oleh karena itu, tanpa “memompa” energi dari luar, osilasi akan teredam. Ada beberapa cara berbeda secara mendasar untuk menciptakan sistem osilasi osilasi terus menerus. Mari kita lihat lebih dekat osilasi yang tidak teredam di bawah pengaruh gaya periodik eksternal. Osilasi seperti itu disebut paksa. Mari kita lanjutkan mempelajari gerak pendulum harmonik (Gbr. 6.9).

Selain gaya elastisitas dan gesekan viskos yang telah dibahas sebelumnya, bola juga dipengaruhi oleh pengaruh eksternal memaksa gaya periodik bervariasi menurut hukum harmonik

frekuensi, yang mungkin berbeda dari frekuensi alami pendulum ω Hai. Sifat kekuatan ini dalam hal ini tidak penting bagi kami. Gaya seperti itu dapat diciptakan dengan berbagai cara, misalnya dengan memberikan muatan listrik pada bola dan menempatkannya dalam medan listrik bolak-balik eksternal. Persamaan gerak bola dalam kasus yang dipertimbangkan memiliki bentuk

Mari kita membaginya dengan massa bola dan menggunakan notasi sebelumnya untuk parameter sistem. Hasilnya kita dapatkan persamaan osilasi paksa:

Di mana F Hai = F Hai /M− rasio nilai amplitudo gaya penggerak eksternal terhadap massa bola. Solusi umum persamaan (3) cukup rumit dan tentu saja bergantung pada kondisi awal. Sifat gerak bola yang dijelaskan oleh persamaan (3) jelas: di bawah pengaruh gaya penggerak, akan timbul osilasi yang amplitudonya akan meningkat. Rezim transisi ini cukup kompleks dan bergantung pada kondisi awal. Setelah jangka waktu tertentu, mode osilasi akan terbentuk dan amplitudonya akan berhenti berubah. Tepat keadaan osilasi yang stabil, dalam banyak kasus merupakan kepentingan utama. Kami tidak akan mempertimbangkan transisi sistem ke keadaan tunak, namun akan fokus pada deskripsi dan mempelajari karakteristik mode ini. Dengan rumusan masalah ini, tidak perlu menentukan kondisi awal, karena keadaan tunak yang kita minati tidak bergantung pada kondisi awal, karakteristiknya ditentukan sepenuhnya oleh persamaan itu sendiri. Kami menghadapi situasi serupa ketika mempelajari gerak suatu benda di bawah aksi gaya eksternal konstan dan gaya gesekan kental

Setelah beberapa waktu, benda bergerak dengan kecepatan tetap yang konstan v = F Hai /β , yang tidak bergantung pada kondisi awal dan sepenuhnya ditentukan oleh persamaan gerak. Kondisi awal menentukan rezim transisi ke gerak tetap. Berdasarkan akal sehat, masuk akal untuk berasumsi bahwa dalam mode osilasi tetap, bola akan berosilasi pada frekuensi gaya penggerak eksternal. Oleh karena itu, penyelesaian persamaan (3) harus dicari dalam fungsi harmonik dengan frekuensi gaya penggerak. Pertama, selesaikan persamaan (3), dengan mengabaikan gaya hambatan

Mari kita coba mencari solusinya dalam bentuk fungsi harmonik

Untuk melakukan ini, kita menghitung ketergantungan kecepatan dan percepatan benda terhadap waktu, sebagai turunan dari hukum gerak

dan substitusikan nilainya ke dalam persamaan (4)

Sekarang Anda dapat menguranginya sebesar biaya. Oleh karena itu, ungkapan ini sewaktu-waktu berubah menjadi identitas yang benar, asalkan syaratnya terpenuhi

Dengan demikian, asumsi kami tentang penyelesaian persamaan (4) dalam bentuk (5)  dibenarkan: keadaan osilasi yang stabil dijelaskan oleh fungsi

Perhatikan bahwa koefisien A menurut ekspresi yang dihasilkan (6) dapat berupa positif (dengan ω < ω Hai), dan negatif (dengan ω > ω Hai). Perubahan tanda berhubungan dengan perubahan fase osilasi sebesar π (alasan perubahan ini akan dijelaskan nanti), oleh karena itu amplitudo osilasi adalah modulus koefisien ini |SEBUAH|. Amplitudo osilasi pada kondisi tunak, seperti yang diharapkan, sebanding dengan besarnya gaya penggerak. Selain itu, amplitudo ini sangat bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Grafik skema hubungan ini ditunjukkan pada Gambar. 6.10

Beras. 6.10 Kurva resonansi

Sebagai berikut dari rumus (6) dan terlihat jelas pada grafik, ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami sistem, amplitudo meningkat tajam. Alasan peningkatan amplitudo ini jelas: gaya penggerak "selama" mendorong bola, ketika frekuensinya benar-benar bertepatan, mode yang ditetapkan tidak ada - amplitudo meningkat hingga tak terbatas. Tentu saja, dalam praktiknya tidak mungkin mengamati peningkatan yang tak terbatas seperti itu: Pertama, hal ini dapat mengakibatkan rusaknya sistem osilasi itu sendiri, Kedua, dengan amplitudo osilasi yang besar, gaya hambatan medium tidak dapat diabaikan. Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami osilasi sistem disebut fenomena resonansi. Sekarang mari kita lanjutkan mencari solusi persamaan osilasi paksa dengan memperhitungkan gaya hambatan

Tentu saja, dalam hal ini juga, solusinya harus dicari dalam bentuk fungsi harmonik dengan frekuensi gaya penggerak. Sangat mudah untuk melihat bahwa mencari solusi dalam bentuk (5) dalam kasus ini tidak akan membawa kesuksesan. Memang, persamaan (8), berbeda dengan persamaan (4), memuat kecepatan partikel, yang dijelaskan oleh fungsi sinus. Oleh karena itu, bagian waktu pada persamaan (8) tidak akan berkurang. Oleh karena itu, penyelesaian persamaan (8) harus direpresentasikan dalam bentuk umum fungsi harmonik

yang didalamnya terdapat dua parameter A Hai Dan φ harus dicari dengan menggunakan persamaan (8). Parameter A Hai adalah amplitudo osilasi paksa, φ − pergeseran fasa antara perubahan koordinat dan gaya penggerak variabel. Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk kosinus jumlah, fungsi (9) dapat direpresentasikan dalam bentuk ekuivalen

yang juga berisi dua parameter B=SEBUAH Hai cosφ Dan C = −A Hai dosaφ untuk ditentukan. Dengan menggunakan fungsi (10), kita menulis ekspresi eksplisit untuk ketergantungan kecepatan dan percepatan suatu partikel terhadap waktu

dan substitusikan ke persamaan (8):

Mari kita tulis ulang ungkapan ini dalam bentuk

Agar persamaan (13) terpenuhi setiap saat, koefisien kosinus dan sinus harus sama dengan nol. Berdasarkan kondisi ini, diperoleh dua persamaan linier untuk menentukan parameter fungsi (10):

Penyelesaian sistem persamaan ini berbentuk

Berdasarkan rumus (10), kita menentukan ciri-ciri osilasi paksa: amplitudo

pergeseran fasa

Pada redaman rendah, ketergantungan ini mencapai maksimum yang tajam seiring dengan semakin dekatnya frekuensi gaya penggerak ω dengan frekuensi natural sistem ω Hai. Jadi, dalam hal ini resonansi juga dapat terjadi, itulah sebabnya ketergantungan yang diplot sering disebut kurva resonansi. Mempertimbangkan redaman lemah menunjukkan bahwa amplitudo tidak meningkat hingga tak terhingga, nilai maksimumnya bergantung pada koefisien atenuasi - seiring dengan peningkatan yang terakhir, amplitudo maksimum menurun dengan cepat. Ketergantungan amplitudo osilasi pada frekuensi gaya penggerak (16) mengandung terlalu banyak parameter independen ( F Hai , ω Hai , γ ) untuk membangun kelompok kurva resonansi yang lengkap. Seperti dalam banyak kasus, hubungan ini dapat disederhanakan secara signifikan dengan beralih ke variabel “tak berdimensi”. Mari kita ubah rumus (16) ke bentuk berikut

dan menunjukkan

− frekuensi relatif (perbandingan frekuensi gaya penggerak dengan frekuensi alami osilasi sistem);

− amplitudo relatif (perbandingan amplitudo osilasi dengan nilai deviasi A Hai = f/ω Hai 2 pada frekuensi nol);

− parameter tak berdimensi yang menentukan jumlah redaman. Dengan menggunakan notasi ini, fungsi (16) disederhanakan secara signifikan

karena hanya berisi satu parameter - δ . Kelompok kurva resonansi satu parameter yang dijelaskan oleh fungsi (16 b) dapat dibuat, terutama dengan mudah menggunakan komputer. Hasil konstruksi ini ditunjukkan pada Gambar. 629.

beras. 6.11

Perhatikan bahwa transisi ke satuan pengukuran “konvensional” dapat dilakukan hanya dengan mengubah skala sumbu koordinat. Perlu dicatat bahwa frekuensi gaya penggerak, di mana amplitudo osilasi paksa maksimum, juga bergantung pada koefisien redaman, sedikit menurun seiring dengan meningkatnya koefisien redaman. Terakhir, kami menekankan bahwa peningkatan koefisien redaman menyebabkan peningkatan yang signifikan pada lebar kurva resonansi. Pergeseran fasa yang dihasilkan antara osilasi titik dan gaya penggerak juga bergantung pada frekuensi osilasi dan koefisien redamannya. Kita akan lebih memahami peran pergeseran fasa ini ketika mempertimbangkan konversi energi dalam proses osilasi paksa.

frekuensi osilasi bebas tak teredam bertepatan dengan frekuensi alami, frekuensi osilasi teredam sedikit lebih kecil dari frekuensi alami, dan frekuensi osilasi paksa bertepatan dengan frekuensi gaya penggerak, dan bukan frekuensi alami.

Osilasi elektromagnetik paksa

Dipaksa Ini adalah osilasi yang terjadi dalam sistem osilasi di bawah pengaruh pengaruh periodik eksternal.

Gambar 6.12. Sirkuit dengan osilasi listrik paksa

Mari kita perhatikan proses yang terjadi pada rangkaian osilasi listrik ( Gambar 6.12), terhubung ke sumber eksternal, yang gglnya bervariasi menurut hukum harmonik

,

Di mana  M– amplitudo EMF eksternal,

 – frekuensi siklik EMF.

Mari kita nyatakan dengan kamu C tegangan melintasi kapasitor, dan melalui Saya - kekuatan arus dalam rangkaian. Pada rangkaian ini, selain variabel EMF  (T) ggl yang diinduksi sendiri juga aktif  L di induktor.

GGL induksi diri berbanding lurus dengan laju perubahan arus dalam rangkaian

.

Untuk penarikan persamaan diferensial osilasi paksa timbul dalam rangkaian seperti itu, kita menggunakan aturan kedua Kirchhoff

.

Tegangan melintasi resistansi aktif R temukan berdasarkan hukum Ohm

.

Kuat arus listrik sama dengan muatan yang mengalir per satuan waktu melalui penampang penghantar

.

Karena itu

.

Tegangan kamu C pada kapasitor berbanding lurus dengan muatan pada pelat kapasitor

.

GGL induksi diri dapat direpresentasikan melalui turunan kedua muatan terhadap waktu

.

Mengganti tegangan dan EMF ke dalam aturan kedua Kirchhoff

.

Membagi kedua sisi ekspresi ini dengan L dan mendistribusikan suku-sukunya menurut derajat penurunan orde turunannya, kita memperoleh persamaan diferensial orde kedua

.

Mari kita perkenalkan notasi berikut dan dapatkan

– koefisien atenuasi,

– frekuensi siklik osilasi alami rangkaian.

. (1)

Persamaan (1) adalah heterogen persamaan diferensial linier orde kedua. Jenis persamaan ini menggambarkan perilaku berbagai sistem osilasi (listrik, mekanik) di bawah pengaruh pengaruh periodik eksternal (ggl eksternal atau gaya eksternal).

Solusi umum persamaan (1) terdiri dari solusi umum Q 1 homogen persamaan diferensial (2)

(2)

dan solusi pribadi apa pun Q 2 heterogen persamaan (1)

.

Jenis solusi umum homogen persamaan (2) tergantung pada nilai koefisien atenuasi  . Kami akan tertarik pada kasus redaman lemah  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Di mana B Dan  0 – konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal.

Solusi (3) menjelaskan osilasi teredam dalam rangkaian. Nilai-nilai yang termasuk dalam (3):

– frekuensi siklik osilasi teredam;

– amplitudo osilasi teredam;

–fase osilasi teredam.

Kita mencari solusi khusus persamaan (1) berupa osilasi harmonik yang terjadi dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi  pengaruh periodik eksternal - EMF, dan tertinggal dalam fase sebesar  Dari dia

Di mana
– amplitudo osilasi paksa, tergantung pada frekuensi.

Mari kita substitusikan (4) ke (1) dan dapatkan identitasnya

Untuk membandingkan fase osilasi, kami menggunakan rumus reduksi trigonometri

.

Kemudian persamaan kita akan ditulis ulang menjadi

Mari kita nyatakan osilasi di sisi kiri identitas yang dihasilkan dalam bentuk diagram vektor (beras.6.13)..

Suku ketiga berhubungan dengan osilasi pada kapasitansi DENGAN, mempunyai fase (  T –  ) dan amplitudo
, kami menyatakannya sebagai vektor horizontal yang diarahkan ke kanan.

Gambar 6.13. Diagram vektor

Suku pertama di sisi kiri, berhubungan dengan osilasi induktansi L, akan digambarkan pada diagram vektor sebagai vektor yang diarahkan secara horizontal ke kiri (amplitudonya
).

Istilah kedua sesuai dengan osilasi resistensi R, kami menyatakannya sebagai vektor yang diarahkan secara vertikal ke atas (amplitudonya
), karena fasenya berada /2 di belakang fase suku pertama.

Karena penjumlahan tiga getaran di sebelah kiri tanda sama dengan menghasilkan getaran harmonis
, maka jumlah vektor pada diagram (diagonal persegi panjang) menggambarkan osilasi dengan amplitudo dan fase  T, yang aktif  memajukan fase osilasi suku ketiga.

Dari segitiga siku-siku, dengan menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat mencari amplitudo A( )

(5)

Dan tg sebagai perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

. (6)

Oleh karena itu, solusi (4) dengan mempertimbangkan (5) dan (6) akan berbentuk

. (7)

Solusi umum persamaan diferensial(1) adalah jumlahnya Q 1 dan Q 2

. (8)

Rumus (8) menunjukkan bahwa ketika suatu rangkaian terkena EMF eksternal periodik, timbul osilasi dua frekuensi di dalamnya, yaitu. osilasi tak teredam dengan frekuensi EMF eksternal  dan osilasi teredam dengan frekuensi
. Amplitudo osilasi teredam
Seiring waktu, ia menjadi sangat kecil, dan hanya osilasi paksa yang tersisa di sirkuit, yang amplitudonya tidak bergantung pada waktu. Akibatnya, osilasi paksa dalam kondisi tunak dijelaskan oleh fungsi (4). Artinya, osilasi harmonik paksa terjadi pada rangkaian, dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi pengaruh luar dan amplitudo.
, tergantung pada frekuensi ini ( beras. 3A) menurut undang-undang (5). Dalam hal ini, fase osilasi paksa tertinggal sebesar  dari pengaruh yang memaksa.

Dengan membedakan ekspresi (4) terhadap waktu, kita menemukan kekuatan arus dalam rangkaian

Di mana
– amplitudo saat ini.

Mari kita tuliskan ekspresi kekuatan arus ini dalam bentuk

, (9)

Di mana
–pergeseran fasa antara arus dan ggl eksternal.

Sesuai dengan (6) dan beras. 2

. (10)

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa pergeseran fasa antara arus dan ggl eksternal bergantung pada resistansi konstan R, dari hubungan antara frekuensi penggerak EMF  dan frekuensi alami rangkaian  0 .

Jika  <  0, maka pergeseran fasa antara arus dan EMF eksternal  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Jika  >  0 lalu  > 0. Fluktuasi arus tertinggal dari fluktuasi EMF dalam fase berdasarkan sudut  .

Jika  =  0 (frekuensi resonansi), Itu  = 0, yaitu arus dan EMF berosilasi dalam fasa yang sama.

Resonansi– ini adalah fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi ketika frekuensi gaya penggerak eksternal bertepatan dengan frekuensi alami sistem osilasi.

Pada resonansi  =  0 dan periode osilasi

.

Mengingat koefisien atenuasi

,

kita memperoleh ekspresi untuk faktor kualitas pada resonansi T = T 0

,

di sisi lain

.

Amplitudo tegangan pada induktansi dan kapasitansi pada resonansi dapat dinyatakan melalui faktor kualitas rangkaian

, (15)

. (16)

Dari (15) dan (16) jelas kapan  =  0, amplitudo tegangan melintasi kapasitor dan induktansi masuk Q kali lebih besar dari amplitudo ggl eksternal. Ini adalah properti berurutan RLC rangkaian digunakan untuk mengisolasi sinyal radio dengan frekuensi tertentu
dari spektrum frekuensi radio saat membangun kembali penerima radio.

Saat latihan RLC sirkuit dihubungkan ke sirkuit lain, alat ukur atau perangkat penguat yang menimbulkan redaman tambahan RLC sirkuit. Oleh karena itu, nilai sebenarnya dari faktor kualitas yang dimuat RLC rangkaian ternyata lebih rendah dari nilai faktor kualitas yang diperkirakan dengan rumus

.

Nilai sebenarnya dari faktor kualitas dapat diperkirakan sebagai

Gambar 6.14. Menentukan faktor kualitas dari kurva resonansi

,

dimana  F– bandwidth frekuensi yang amplitudonya 0,7 dari nilai maksimum ( beras. 4).

Tegangan kapasitor kamu C, pada resistensi aktif kamu R dan pada induktor kamu L mencapai maksimum pada frekuensi yang berbeda

,
,
.

Jika redamannya rendah  0 >>  , maka semua frekuensi ini secara praktis bertepatan dan kita dapat berasumsi demikian

.

Getaran paksa

getaran yang terjadi pada sistem apa pun di bawah pengaruh gaya eksternal yang bervariasi (misalnya, getaran membran telepon di bawah pengaruh medan magnet bolak-balik, getaran struktur mekanis di bawah pengaruh beban variabel, dll.). Sifat suatu sistem militer ditentukan oleh sifat kekuatan eksternal dan sifat-sifat sistem itu sendiri. Pada awal aksi gaya eksternal periodik, sifat V. c. berubah seiring waktu (khususnya, V. c. tidak periodik), dan hanya setelah beberapa waktu V. c. periodik terbentuk di sistem dengan periode yang sama dengan periode gaya luar (kondisi tunak VC.). Pembentukan tegangan pada suatu sistem osilasi terjadi semakin cepat, semakin besar redaman osilasi pada sistem tersebut.

Khususnya, dalam sistem osilasi linier (Lihat Sistem osilasi), ketika gaya eksternal dihidupkan, osilasi dan osilasi bebas (atau alami) muncul secara bersamaan dalam sistem, dan amplitudo osilasi ini pada saat awal adalah sama, dan fasenya berlawanan ( beras. ). Setelah osilasi bebas melemah secara bertahap, hanya osilasi keadaan tunak yang tersisa dalam sistem.

Amplitudo VK ditentukan oleh amplitudo gaya kerja dan redaman dalam sistem. Jika redamannya kecil, maka amplitudo gelombang tegangan sangat bergantung pada hubungan antara frekuensi gaya kerja dan frekuensi osilasi alami sistem. Ketika frekuensi gaya eksternal mendekati frekuensi alami sistem, amplitudo VK meningkat tajam—terjadi resonansi. Dalam sistem nonlinier (Lihat sistem Nonlinier), pembagian menjadi bebas dan VK tidak selalu memungkinkan.

menyala.: Khaikin S.E., Landasan Fisika Mekanika, M., 1963.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu "Osilasi paksa" di kamus lain:

Getaran paksa- Getaran paksa. Ketergantungan amplitudonya pada frekuensi pengaruh eksternal pada redaman berbeda: 1 redaman lemah; 2 redaman kuat; 3 redaman kritis. GETARAN PAKSA, osilasi yang terjadi pada sistem apa pun di... ... Kamus Ensiklopedis Bergambar

osilasi paksa- Osilasi yang terjadi di bawah pengaruh periodik gaya umum eksternal. [Sistem pengujian non-destruktif. Jenis (metode) dan teknologi pengujian non destruktif. Istilah dan definisi (buku referensi). Moskow 2003] memaksa... ... Panduan Penerjemah Teknis

Osilasi paksa adalah osilasi yang terjadi karena pengaruh gaya luar yang berubah seiring waktu. Osilasi diri berbeda dari osilasi paksa karena osilasi paksa disebabkan oleh pengaruh eksternal periodik dan terjadi dengan frekuensi ini ... Wikipedia

GETARAN PAKSA, getaran yang terjadi pada suatu sistem sebagai akibat dari pengaruh luar yang berubah secara berkala: gaya dalam sistem mekanis, tegangan atau arus dalam rangkaian osilasi. Osilasi paksa selalu terjadi dengan... ... Ensiklopedia modern

Osilasi yang timbul di ruang angkasa l. sistem di bawah pengaruh periodik ext. gaya (misalnya, getaran membran telepon di bawah pengaruh medan magnet bolak-balik, getaran struktur mekanis di bawah pengaruh beban bolak-balik). Har r V. k. didefinisikan sebagai eksternal. dengan paksa... Ensiklopedia fisik

Osilasi yang timbul di ruang angkasa l. sistem di bawah pengaruh bolak-balik ext. pengaruh (misalnya fluktuasi tegangan dan arus pada suatu rangkaian listrik yang disebabkan oleh ggl bolak-balik; getaran sistem mekanis yang disebabkan oleh beban bolak-balik). Karakter V.K. ditentukan oleh... ... Kamus Besar Ensiklopedis Politeknik

Mereka muncul dalam suatu sistem di bawah pengaruh pengaruh eksternal periodik (misalnya, osilasi paksa pendulum di bawah pengaruh gaya periodik, osilasi paksa dalam rangkaian osilasi di bawah pengaruh gaya gerak listrik periodik). Jika… … Kamus Ensiklopedis Besar

Getaran paksa- (getaran) – osilasi (getaran) sistem yang disebabkan dan didukung oleh gaya dan (atau) eksitasi kinematik. [GOST 24346 80] Getaran paksa adalah getaran sistem yang disebabkan oleh aksi beban yang berubah-ubah terhadap waktu. [Industri... ... Ensiklopedia istilah, definisi dan penjelasan bahan bangunan

- (Getaran terbatas, getaran paksa) getaran benda yang disebabkan oleh gaya luar yang bekerja secara berkala. Jika periode osilasi paksa bertepatan dengan periode osilasi alami suatu benda, maka terjadilah fenomena resonansi. Samoilov K.I.... ...Kamus Kelautan

GETARAN PAKSA- (lihat), timbul dalam sistem apa pun di bawah pengaruh pengaruh variabel eksternal; karakternya ditentukan baik oleh sifat-sifat pengaruh eksternal maupun oleh sifat-sifat sistem itu sendiri. Ketika frekuensi pengaruh eksternal mendekati frekuensi alami... Ensiklopedia Politeknik Besar

Mereka muncul dalam suatu sistem di bawah pengaruh pengaruh eksternal periodik (misalnya, osilasi paksa pendulum di bawah pengaruh gaya periodik, osilasi paksa dalam rangkaian osilasi di bawah pengaruh ggl periodik). Jika frekuensinya...... kamus ensiklopedis

Buku

• Getaran paksa torsi poros dengan memperhitungkan redaman, A.P. Filippov, Direproduksi dalam ejaan penulis asli edisi 1934 (penerbitan Izvestia dari Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet). DI DALAM… Kategori: Matematika Penerbit: YOYO Media, Pabrikan: Yoyo Media,
• Getaran melintang paksa batang dengan mempertimbangkan redaman, A.P. Filippov, Direproduksi dalam ejaan penulis asli edisi 1935 (penerbitan "Izvestia dari Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet")... Kategori: