Cara membuat sketsa grafik suatu fungsi. Gambarlah sketsa grafik fungsi tersebut, dengan mengetahui hal itu. Perlindungan informasi pribadi

“Masalah turunan” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Bagaimana Anda membayangkan kecepatan sesaat? Masalah kecepatan sesaat. kamu. Bagaimana Anda membayangkan kecepatan sesaat? ?X=x-x0. Apa yang telah dikatakan dicatat dalam formulir. Pertama, kami mendefinisikan “wilayah” penelitian kami. A l go r i t m.Kecepatan v meningkat secara bertahap.

“Studi tentang fungsi turunan” - Meriam ditembakkan dengan sudut terhadap cakrawala. Opsi 1 A B D Opsi 2 G B B. Institusi Pendidikan Kota Guru Matematika Sekolah Menengah Meshkovskaya Kovaleva T.V. Fungsinya didefinisikan pada segmen [-4;4] . Bagaimana hubungan turunan dan fungsi? Jawaban: MENERAPKAN TURUNAN PADA STUDI FUNGSI: fungsi naik dan turun. TUGAS Ingat cerita tentang Baron Munchausen?

“Turunan dari fungsi kompleks” - Fungsi kompleks. Aturan untuk mencari turunan fungsi kompleks. Turunan dari fungsi sederhana. Turunan dari fungsi kompleks. Fungsi kompleks: Contoh:

“Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi” - 6. -1. 8. Identifikasi titik kritis suatu fungsi menggunakan grafik turunan fungsi tersebut. 1.=. 1 Juli 1646 - 14 November 1716, Pemanasan. Tanda fungsi naik dan turun. Tentukan tanda turunan fungsi pada interval.

“Pelajaran tentang turunan fungsi kompleks” - Turunan fungsi kompleks. Hitung kecepatan titik: a) pada waktu t; b) saat ini t=2 s. Temukan turunan dari fungsi: , Jika. Brooke Taylor. Temukan diferensial fungsi: Pada nilai x berapa persamaan tersebut berlaku. Titik bergerak lurus menurut hukum s(t) = s(t) = (s adalah lintasan dalam meter, t adalah waktu dalam detik).

“Definisi Turunan” - 1. Bukti: f(x+ ?x). Misalkan u(x), v(x) dan w(x) merupakan fungsi terdiferensiasi pada suatu interval (a; b), C adalah sebuah konstanta. f(x). Persamaan garis lurus dengan koefisien sudut: Dengan menggunakan rumus binomial Newton kita mempunyai: Teorema. Kemudian: Turunan dari fungsi kompleks.

Total ada 31 presentasi

Dalam pelajaran ini kita akan melihat teknik membuat sketsa grafik suatu fungsi dan memberikan contoh penjelasannya.

Topik: Pengulangan

Pelajaran: Membuat sketsa grafik suatu fungsi (menggunakan contoh fungsi pecahan-kuadrat)

1. Metodologi pembuatan sketsa grafik fungsi

Tujuan kami adalah membuat sketsa grafik fungsi kuadrat pecahan. Sebagai contoh, mari kita ambil fungsi yang sudah kita kenal:

Diberikan fungsi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung fungsi kuadrat.

Teknik membuat sketsanya adalah sebagai berikut:

1. Pilih interval tanda konstanta dan tentukan tanda fungsi pada masing-masing interval tersebut (Gambar 1)

Kami memeriksa secara detail dan menemukan bahwa fungsi kontinu dalam ODZ dapat berubah tanda hanya jika argumen melewati akar dan titik putus ODZ.

Fungsi y yang diberikan kontinu dalam ODZ-nya; mari kita tunjukkan ODZ-nya:

Mari kita cari akarnya:

Mari kita soroti interval keteguhan tanda. Kami telah menemukan akar-akar fungsi dan titik-titik putus dari domain definisi - akar-akar penyebutnya. Penting untuk dicatat bahwa dalam setiap interval fungsi tersebut mempertahankan tandanya.

Beras. 1. Interval tanda konstan suatu fungsi

Untuk menentukan tanda suatu fungsi pada setiap interval, Anda dapat mengambil titik mana pun yang termasuk dalam interval tersebut, mensubstitusikannya ke dalam fungsi tersebut, dan menentukan tandanya. Misalnya:

Pada interval fungsi tersebut mempunyai tanda tambah

Pada interval tersebut, fungsi tersebut memiliki tanda minus.

Inilah keuntungan metode interval: kita menentukan tanda pada satu titik percobaan dan menyimpulkan bahwa fungsi tersebut akan memiliki tanda yang sama pada seluruh interval yang dipilih.

Namun, Anda dapat mengatur tanda secara otomatis, tanpa menghitung nilai fungsi, untuk melakukannya, tentukan tanda pada interval ekstrem, lalu ganti tanda.

1. Mari kita buat grafik di sekitar setiap akar. Ingatlah bahwa akar dari fungsi ini dan :

Beras. 2. Grafik di sekitar akar

Karena pada suatu titik tanda fungsi berubah dari plus ke minus, maka kurva mula-mula berada di atas sumbu, kemudian melewati nol dan kemudian terletak di bawah sumbu x. Yang terjadi justru sebaliknya.

2. Mari kita buat grafik di sekitar setiap diskontinuitas ODZ. Ingatlah bahwa akar-akar penyebut fungsi ini dan :

Beras. 3. Grafik fungsi di sekitar titik diskontinuitas ODZ

Bila atau penyebut suatu pecahan praktis sama dengan nol, berarti jika nilai argumennya cenderung ke angka-angka tersebut, maka nilai pecahannya cenderung tak terhingga. Dalam hal ini, ketika argumen di sebelah kiri mendekati tripel, fungsinya positif dan cenderung plus tak terhingga, di sebelah kanan fungsinya negatif dan melampaui minus tak terhingga. Sebaliknya, sekitar empat, di sebelah kiri fungsinya cenderung minus tak terhingga, dan di sebelah kanan meninggalkan plus tak terhingga.

Berdasarkan sketsa yang dibuat, kita dapat menebak sifat perilaku fungsi dalam interval tertentu.

Beras. 4. Sketsa grafik fungsi

Mari kita perhatikan tugas penting berikut ini - membuat sketsa grafik suatu fungsi di sekitar titik-titik di tak terhingga, yaitu ketika argumennya cenderung plus atau minus tak terhingga. Dalam hal ini, suku konstanta dapat diabaikan. Kita punya:

Terkadang Anda dapat menemukan rekaman fakta ini:

Beras. 5. Sketsa grafik suatu fungsi di sekitar titik-titik tak terhingga

Kita telah memperoleh perkiraan perilaku fungsi pada seluruh domain definisinya; maka kita perlu menyempurnakan konstruksinya menggunakan turunan.

2. Penyelesaian contoh no.1

Contoh 1 - buat sketsa grafik suatu fungsi:

Kita mempunyai tiga titik yang melaluinya fungsi dapat berubah tanda ketika argumen lolos.

Kita tentukan tanda-tanda fungsi pada setiap interval. Kami memiliki nilai tambah pada interval paling kanan, kemudian tandanya bergantian, karena semua akar memiliki derajat pertama.

Kami membuat sketsa grafik di sekitar akar dan titik putus ODZ. Kita mempunyai: karena pada suatu titik tanda fungsi berubah dari plus ke minus, kurva mula-mula berada di atas sumbu, kemudian melewati nol dan kemudian terletak di bawah sumbu x. Bila atau penyebut suatu pecahan praktis sama dengan nol, berarti jika nilai argumennya cenderung ke angka-angka tersebut, maka nilai pecahannya cenderung tak terhingga. Dalam hal ini, ketika argumen di sebelah kiri mendekati minus dua, fungsinya negatif dan cenderung minus tak terhingga, di sebelah kanan fungsinya positif dan meninggalkan plus tak terhingga. Sekitar dua adalah sama.

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Jelasnya, turunannya selalu kurang dari nol, oleh karena itu fungsinya menurun di semua bagian. Jadi, pada bagian dari minus tak terhingga ke minus dua, fungsinya berkurang dari nol ke minus tak terhingga; pada bagian dari minus dua ke nol, fungsinya berkurang dari plus tak terhingga ke nol; di bagian dari nol ke dua, fungsinya berkurang dari nol ke minus tak terhingga; pada bagian dari dua hingga plus tak terhingga, fungsinya menurun dari plus tak terhingga menjadi nol.

Mari kita ilustrasikan:

Beras. 6. Sketsa grafik suatu fungsi misalnya 1

3. Penyelesaian contoh no.2

Contoh 2 - buat sketsa grafik suatu fungsi:

Kita membuat sketsa grafik suatu fungsi tanpa menggunakan turunan.

Pertama, mari kita periksa fungsi yang diberikan:

Kita mempunyai satu titik yang melaluinya fungsi dapat berubah tanda ketika argumen lolos.

Perhatikan bahwa fungsi yang diberikan ganjil.

Kita tentukan tanda-tanda fungsi pada setiap interval. Kita mendapat nilai tambah pada interval paling kanan, kemudian tandanya berubah, karena akarnya mempunyai derajat pertama.

Kami membuat sketsa grafik di sekitar akar. Kita mempunyai: karena pada suatu titik tanda fungsi berubah dari minus menjadi plus, kurva mula-mula berada di bawah sumbu, kemudian melewati nol dan kemudian terletak di atas sumbu x.

Sekarang kita membuat sketsa grafik fungsi di sekitar titik-titik tak terhingga, yaitu ketika argumennya cenderung plus atau minus tak terhingga. Dalam hal ini, suku konstanta dapat diabaikan. Kita punya:

Setelah melakukan langkah-langkah di atas, kita sudah membayangkan grafik fungsinya, namun perlu diperjelas menggunakan turunannya.

Merencanakan grafik fungsi. . . . . . . . . . . .
1. Rencana mempelajari fungsi saat membuat grafik. .
2. Konsep dasar dan tahapan penelitian fungsi. . . .
1. Domain fungsi D f dan himpunan
nilai fungsi E f . Properti khusus
fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Studi tentang asimtot. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Asimtot vertikal. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Asimtot miring (horizontal). . . . . . .
2.3. Metode mempelajari asimtot non-vertikal. .
2.4. Posisi relatif grafik fungsi
dan asimtotnya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Membuat sketsa grafik fungsi. . . . . . . . . .
4. Bagian fungsi naik dan turun
Poin minimum dan maksimum. . . . . . . . . . . . . . .
5. Fungsi cembung atas dan bawah
Titik belok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Diferensiasi suatu fungsi, analitis
yang ekspresinya berisi modul. . . . . . . . . . . . .
4. Persyaratan dasar hasil penelitian
dan merencanakan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Contoh penelitian fungsi dan konstruksi
grafik fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menggambar kurva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Rencana penelitian dan konstruksi kurva. . . . . . . . . .

2. Konsep dasar dan tahapan penelitian kurva. . . . .
	Mempelajari fungsi x x t dan y y t. . . . . . .
	Kegunaan hasil penelitian x x t . .
2.1. Asimtot vertikal dari kurva. . . . . . . . . . .
2.2. Asimtot kurva yang miring (horizontal). .
	Analisis hasil dan konstruksi sketsa
grafik fungsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Bagian kurva naik dan turun
Poin fungsi minimum dan maksimum
x x y dan y y x , titik puncak kurva. . . . . . .
	Fungsi cembung ke atas dan ke bawah. Titik belok. .
3. Konstruksi kurva yang ditentukan secara parametrik. . . . . .
Contoh 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masalah untuk solusi mandiri. . . . . .
Jawaban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fungsi grafik

1. Rencana untuk mempelajari suatu fungsi saat membuat grafik

1. Temukan domain definisi fungsi. Seringkali berguna untuk mempertimbangkan beberapa nilai suatu fungsi. Jelajahi properti khusus suatu fungsi: genap, ganjil; periodisitas, sifat simetri.

2. Jelajahi asimtot grafik suatu fungsi: vertikal, miring. Analisis posisi relatif grafik suatu fungsi dan asimtot miringnya (horizontal).

3. Gambarlah sketsa grafiknya.

4. Temukan area monotonisitas fungsi: naik dan turun. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut: minimum dan maksimum.

Temukan turunan satu sisi pada titik diskontinuitas turunan fungsi dan pada titik batas domain definisi fungsi (jika ada turunan satu sisi).

5. Temukan interval konveksitas fungsi dan titik beloknya.

2. Konsep dasar dan tahapan penelitian fungsi

1. Domain fungsi Df dan banyak arti

fungsi E f . Properti Fungsi Khusus

Tunjukkan daerah definisi fungsi, tandai pada sumbu absis dengan titik batas dan titik tertusuk, dan tunjukkan absis titik-titik tersebut. Menemukan domain definisi suatu fungsi tidak diperlukan.

Tidak perlu mencari beberapa nilai fungsi. Sifat-sifat yang mudah dipelajari dari sekumpulan nilai: non-negatif, batasan dari bawah atau atas, dll., digunakan untuk membuat sketsa grafik, mengontrol hasil studi dan kebenaran grafik.

x suka

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu ordinat Oy. Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal. Fungsi genap dan ganjil diperiksa pada separuh positif domain definisi.

Suatu fungsi periodik dipelajari pada satu periode, dan

Grafik ditampilkan pada 2-3 periode.
2. Studi tentang asimtot
2.1. Asimtot vertikal
Definisi 1.					xx0		ditelepon		vertikal
asimtot grafik fungsi					kamu f x ,			jika selesai
salah satu syaratnya:				lim f x 1				lim fx.
				x x0 0				x x0 0
2.2. Asimtot miring (horizontal).
nuh) asimtot grafik fungsi						kamu fx di x,
lim f x kx b 0 .
						di x
	definisi asimtot
klim			b lim f x kx . Menghitung yang sesuai
batasnya, kita memperoleh persamaan asimtot y kx b .
Pernyataan serupa juga berlaku dalam kasus kapan
Jika k 0, maka asimtotnya disebut miring.
k 0 , maka asimtotnya				y b disebut mendatar.
Konsep miring dan horizontal diperkenalkan dengan cara yang sama.
asimtot grafik fungsi y f x							di x.

2.3. Metode mempelajari asimtot non-vertikal Studi tentang asimtot untuk x dan untuk

aturan tersebut dilakukan secara terpisah.

1 Kita juga akan menggunakan simbol tersebut untuk mengartikan pemenuhan satu kasus

Dalam beberapa kasus khusus, dimungkinkan untuk mempelajari bersama-sama asimtot di x dan di x, misalnya untuk

1) fungsi rasional;

2) fungsi genap dan ganjil, yang grafiknya dapat dipelajari pada bagian domain definisinya.

Metode pemilihan bagian utama. Untuk mencari asimtotnya, pilih bagian utama fungsi di x. Demikian pula untuk x.

Bagian utama dari fungsi rasional pecahan Lebih mudah untuk menemukannya dengan menyorot seluruh bagian pecahan:

Contoh 1. Temukan asimtot miring dari grafik suatu fungsi

f x 2 x 3 x 2 . x 1

fx2x5					o 1 jam	x , lalu lurus

Mei y 2 x 5 adalah asimtot yang diinginkan. ◄

Bagian utama dari fungsi irasional ketika menyelesaikan contoh-contoh praktis, akan lebih mudah untuk menemukannya menggunakan metode merepresentasikan suatu fungsi dengan rumus Taylor untuk x.

Contoh 2. Temukan asimtot miring dari grafik suatu fungsi

x4 3x1

di x.

x 4 o1

untuk x, maka garis lurus				yx 4 adalah asimtot yang diinginkan.
				irasional
				f x 3			nyaman untuk ditemukan
	ax2 bx c dan				ax3 bx2 cx d

gunakan metode mengisolasi masing-masing kuadrat lengkap atau kubus lengkap dari ekspresi radikal.

Contoh 3. Tentukan asimtot miring dari grafik fungsi f x x 2 6 x 14 untuk x dan x.

Dalam ekspresi radikal, kita memilih kuadrat lengkap

x 3 2

5. Sejak grafik fungsi

f x simetris

relatif terhadap garis lurus x 3 dan

lalu fx~

di x.

x 3 2 5

Jadi itu lurus

yx 3 adalah

asimtot di x, dan garis lurus y 3 x

Asimtot di

X. ◄

Untuk mencari asimtot dapat menggunakan metode isolasi bagian utama.

Contoh 4. Tentukan asimtot grafik fungsi f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

Itulah fungsinya

memiliki asimtot

kamu 2 x

dan asimtot

kamu 2 x

di x .◄

Untuk fungsi transendental kedua metode tersebut dapat diterima

mengikuti asimtot ketika menyelesaikan contoh praktis.

Catatan 1. Saat mempelajari asimtot fungsi yang irasional dan transendental, Dan fungsi yang ekspresi analitisnya berisi modul, Dianjurkan untuk mempertimbangkan dua kasus: x dan x. Studi gabungan terhadap asimtot di x dan di x dapat menyebabkan kesalahan dalam penelitian. Untuk mencari limit atau bagian utama dari x, variabel x t perlu diubah.

2.4. Posisi relatif grafik suatu fungsi dan asimtotnya

a) Jika fungsi y f x mempunyai asimtot di x,

terdiferensiasi dan cembung ke bawah pada sinar x x 0, maka grafiknya

fic dari fungsi tersebut terletak di atas asimtot (Gbr. 1.1).

b) Jika fungsi y f x mempunyai asimtot di x,

terdiferensiasi dan cembung ke atas pada sinar x x 0, maka

grafik fungsi terletak di bawah asimtot (Gbr. 1.2).

c) Mungkin ada kasus lain di mana grafik suatu fungsi cenderung ke asimtot. Misalnya, ada kemungkinan bahwa grafik suatu fungsi memotong asimtotnya berkali-kali (Gbr. 1.3 dan 1.4).

Pernyataan serupa juga berlaku untuk x.

Sebelum mempelajari sifat-sifat konveksitas suatu grafik fungsi, posisi relatif grafik fungsi dan asimtotnya dapat ditentukan dengan tanda o 1 dengan metode isolasi bagian utama.

Contoh 5. Tentukan posisi relatif grafik

fungsi f x 2 x 2 3 x 2 dan asimtotnya. x 1

fx2x5						di x, lalu gra-
						kamu 2 x 5 . Karena
fungsi fiksi berbohong			di atas asimtot

0 di x, maka grafik fungsinya terletak di bawah asimtotik

kamu kamu 2 x 5. ◄

Contoh 6. Tentukan posisi relatif grafik

fungsi fx

x4 3x1

dan asimtotnya untuk x.

x 2 1

Dari kesetaraan

x maka grafik fungsinya terletak di bawah asimtot y x 4 . ◄

Contoh 7. Tentukan posisi relatif grafik fungsi f x x 2 6 x 14 dan asimtotnya.

Karena f x x 3 (lihat contoh 3), maka

x 3 2 5 x 3

grafik fungsinya terletak di atas asimtot y x 3 di x dan di x. ◄

Contoh 8. Tentukan posisi relatif grafik

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 dan asimtotnya.

sebagai x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6, lalu gunakan

a x 2 3 14 x 6 ,

bx 2 3 , kita peroleh fxx 2

14x6

3x2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

selisihnya positif di x

dan negatif di x

Oleh karena itu, di x, grafik fungsinya terletak di bawah asimtot y x 2, dan di x, di atas asimtot y x 2.◄

Metode penghitungan limit untuk mempelajari asimtot tidak memungkinkan seseorang memperkirakan posisi relatif grafik suatu fungsi dan asimtotnya.

3. Membuat sketsa grafik suatu fungsi Untuk membuat sketsa grafik, vertikal dan

asimtot miring, titik potong grafik suatu fungsi dengan sumbu. Dengan memperhatikan posisi relatif grafik fungsi dan asimtotnya, maka dibuatlah sketsa grafik tersebut. Jika grafik suatu fungsi terletak di atas (di bawah) asimtot di x, maka asumsikan bahwa

terdapat suatu titik x 0 sedemikian rupa sehingga di antara titik-titik x x 0 tidak terdapat titik belok,

kita menemukan bahwa fungsinya cembung ke bawah (ke atas), yaitu ke asimtot. Demikian pula, seseorang dapat memprediksi arah konveksitas ke asimtot untuk asimtot vertikal dan asimtot di x. Namun, seperti yang ditunjukkan oleh contoh di atas

fungsi y x sin 2 x , asumsi tersebut mungkin bukan x

4. Daerah yang fungsinya bertambah dan berkurang. Poin minimum dan maksimum

Definisi 3.	Fungsi f x disebut	meningkat
(menurun) pada interval a, b, jika untuk sembarang		x1 , x2 a, b ,
sedemikian rupa sehingga x 1 x 2	ada ketimpangan	fx1 fx2
(f x1 f x2 ).

Fungsi f x terdiferensiasi pada interval a, b

meleleh (menurun) pada selang waktu a, b, jika dan hanya jika

fungsi f x .

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Jika

Poin mantan-

tremum dari fungsi f x , maka pada titik ini juga

f x 0 0 , atau

turunannya tidak ada.

Kondisi yang cukup untuk ekstrem.

fx diferensial

1. Misalkan ada 0 sehingga fungsinya

dapat dipancarkan di lingkungan titik x 0 yang tertusuk

dan terus menerus

di titik x 0 . Kemudian,

a) jika turunannya berubah tanda minus menjadi plus ketika kembali

kemajuan melalui titik tersebut		x 0 ,
			x x 0 , x 0 , maka x 0 adalah titik maksimum
	x 0 untuk apa pun
fungsi f x ;
	b) jika turunannya berubah tanda plus menjadi minus ketika diulangi
kemajuan melalui titik tersebut		x 0 ,
			itu. f x 0 untuk setiap x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , maka x 0 adalah titik minimum
	x 0 untuk apa pun

fungsi f x .

Contoh modelnya antara lain y x (Gbr. 2.1) dan