Diferensiasi fungsi Mordkovich eksponensial dan logaritmik. Diferensiasi fungsi eksponensial dan logaritma. Antiturunan fungsi eksponensial pada tugas UNT. Sifat-sifat fungsi y = e x

Aljabar dan awal analisis matematika

Membedakan fungsi eksponensial dan logaritma

Disusun oleh:

guru matematika Sekolah Menengah Institusi Pendidikan Kota No.203 KhEC

kota Novosibirsk

Vidutova T.V.

Nomor e. Fungsi kamu = e X, propertinya, grafik, diferensiasi

1. Mari kita buat grafik untuk berbagai basis: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (opsi ke-2) (opsi ke-1) " width="640"

Pertimbangkan fungsi eksponensial kamu = sebuah X, dimana a adalah 1.

Kami akan membangun berbagai pangkalan A grafis:

1. kamu=2 X

3. kamu=10 X

2. kamu=3 X

(Pilihan 2)

(1 pilihan)

1) Semua grafik melewati titik (0; 1);

2) Semua graf mempunyai asimtot mendatar kamu = 0

pada X  ∞;

3) Semuanya cembung menghadap ke bawah;

4) Semuanya mempunyai garis singgung pada semua titiknya.

Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi tersebut kamu=2 X pada intinya X= 0 dan ukur sudut yang dibentuk garis singgung dengan sumbu X

Dengan menggunakan konstruksi garis singgung grafik yang tepat, Anda dapat memperhatikan bahwa basisnya A Fungsi eksponensial kamu = sebuah X alasnya berangsur-angsur bertambah dari 2 menjadi 10, maka sudut antara garis singgung grafik fungsi di titik tersebut X= 0 dan sumbu x berangsur-angsur bertambah dari 35' menjadi 66,5'.

Oleh karena itu ada alasannya A, yang sudutnya adalah 45'. Dan inilah maknanya A disimpulkan antara 2 dan 3, karena pada A= 2 sudutnya 35', dengan A= 3 sama dengan 48'.

Dalam analisis matematis terbukti adanya landasan ini, biasanya dilambangkan dengan huruf e.

Menentukan itu e – bilangan irasional, yaitu mewakili pecahan desimal non-periodik tak terhingga:

e = 2,7182818284590… ;

Dalam praktiknya biasanya diasumsikan demikian e ≈ 2,7.

Grafik fungsi dan properti kamu = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) meningkat;

4) tidak dibatasi dari atas, dibatasi dari bawah

5) tidak memiliki yang terbesar maupun yang terkecil

nilai-nilai;

6) terus menerus;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) cembung ke bawah;

9) dapat dibedakan.

Fungsi kamu = e X ditelepon eksponen .

Dalam analisis matematis terbukti fungsinya kamu = e X memiliki turunan di titik mana pun X :

(mis X ) = e X

(mis 5x )" = 5e 5x

(mis x-3 )" = e x-3

(mis -4x+1 )" = -4e -4x-1

Contoh 1 . Gambarkan garis singgung grafik fungsi di titik x=1.

2) f()=f(1)=e

4) kamu=e+e(x-1); kamu = mis

Menjawab:

Contoh 2 .

X = 3.

Contoh 3 .

Periksa fungsi ekstremnya

x=0 dan x=-2

X= -2 – titik maksimum

X= 0 – titik minimum

Jika basis logaritma adalah bilangan e, lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan logaritma natural . Notasi khusus telah diperkenalkan untuk logaritma natural dalam (l – logaritma, n – natural).

Grafik dan sifat-sifat fungsi y = ln x

Sifat-sifat fungsi y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) tidak genap dan tidak ganjil;

3) bertambah (0; + ∞);

4) tidak terbatas;

5) tidak mempunyai nilai terbesar maupun terkecil;

6) terus menerus;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) bagian atas cembung;

9) dapat dibedakan.

0 rumus diferensiasi "width="640" valid

Dalam analisis matematis terbukti bahwa untuk nilai berapapun x0 rumus diferensiasinya valid

Contoh 4:

Menghitung turunan suatu fungsi di suatu titik X = -1.

Misalnya:

Sumber daya internet:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Membedakan fungsi eksponensial dan logaritma

1. Bilangan e Fungsi y = e x, sifat-sifatnya, grafiknya, diferensiasinya

Mari kita pertimbangkan eksponensial fungsi y=ax, di mana a > 1. Untuk basis a yang berbeda kita mendapatkan grafik yang berbeda (Gbr. 232-234), tetapi Anda dapat melihat bahwa semuanya melewati titik (0; 1), semuanya memiliki asimtot horizontal y = 0 di , semuanya menghadap ke bawah secara cembung dan, akhirnya, semuanya mempunyai garis singgung di semua titiknya. Mari kita menggambar, misalnya, garis singgung grafis fungsi y=2x di titik x = 0 (Gbr. 232). Jika Anda membuat konstruksi dan pengukuran yang akurat, Anda dapat memastikan bahwa garis singgung ini membentuk sudut 35° (kurang-lebih) terhadap sumbu x.

Sekarang mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi y = 3 x, juga di titik x = 0 (Gbr. 233). Di sini sudut antara garis singgung dan sumbu x akan lebih besar - 48°. Dan untuk fungsi eksponensial y = 10 x serupa
situasi kita mendapatkan sudut 66,5° (Gbr. 234).

Jadi, jika basis a dari fungsi eksponensial y=ax berangsur-angsur bertambah dari 2 menjadi 10, maka sudut antara garis singgung grafik fungsi di titik x=0 dan sumbu x berangsur-angsur bertambah dari 35° menjadi 66,5 °. Masuk akal untuk mengasumsikan bahwa ada alas a yang sudut bersesuaiannya adalah 45°. Alas ini harus diapit di antara angka 2 dan 3, karena untuk fungsi y-2x sudut yang kita minati adalah 35°, yaitu kurang dari 45°, dan untuk fungsi y=3 x sama dengan 48° , yang suhunya sudah sedikit lebih dari 45 °. Basis yang kita minati biasanya dilambangkan dengan huruf e. Diketahui bahwa bilangan e adalah irasional, yaitu. mewakili desimal non-periodik yang tak terbatas pecahan:

e = 2,7182818284590...;

dalam praktiknya biasanya diasumsikan bahwa e=2,7.

Komentar(tidak terlalu serius). Jelas bahwa L.N. Tolstoy tidak ada hubungannya dengan angka e, namun saat menulis angka e, harap diperhatikan bahwa angka 1828 diulang dua kali berturut-turut - tahun lahir L.N. tebal.

Grafik fungsi y=e x ditunjukkan pada Gambar. 235. Ini adalah eksponensial yang berbeda dengan eksponensial lainnya (grafik fungsi eksponensial dengan basis lain) karena sudut antara garis singgung grafik di titik x=0 dan sumbu x adalah 45°.

Sifat-sifat fungsi y = e x:

1)
2) tidak genap dan tidak ganjil;
3) meningkat;
4) tidak dibatasi dari atas, dibatasi dari bawah;
5) tidak mempunyai nilai terbesar maupun terkecil;
6) terus menerus;
7)
8) cembung ke bawah;
9) dapat dibedakan.

Kembali ke § 45, lihat daftar properti fungsi eksponensial y = a x untuk a > 1. Anda akan menemukan properti yang sama 1-8 (yang cukup alami), dan properti kesembilan yang terkait dengan
kami tidak menyebutkan diferensiasi fungsinya. Mari kita bahas sekarang.

Mari kita turunkan rumus untuk mencari turunan y-ex. Dalam hal ini, kami tidak akan menggunakan algoritma biasa yang kami kembangkan di § 32 dan telah berhasil digunakan lebih dari sekali. Dalam algoritma ini, pada tahap akhir perlu dilakukan perhitungan limit, dan pengetahuan kita tentang teori limit masih sangat-sangat terbatas. Oleh karena itu, kami akan mengandalkan premis-premis geometri, dengan mempertimbangkan, khususnya, fakta adanya garis singgung pada grafik fungsi eksponensial tanpa keraguan (itulah sebabnya kami dengan percaya diri menuliskan properti kesembilan dalam daftar properti di atas. - diferensiasi fungsi y = e x).

1. Perhatikan bahwa untuk fungsi y = f(x), dimana f(x) =ex, kita sudah mengetahui nilai turunannya di titik x =0: f / = tan45°=1.

2. Mari kita perkenalkan fungsi y=g(x), di mana g(x) -f(x-a), yaitu g(x)-ex" a. Gambar 236 menunjukkan grafik fungsi y = g(x): diperoleh dari grafik fungsi y - fx) dengan menggeser sepanjang sumbu x sebesar |a| satuan skala Garis singgung grafik fungsi y = g(x) di titik x-a sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y = f(x) di titik x -0 (lihat Gambar 236), artinya terbentuk sudut 45° terhadap sumbu x. Dengan menggunakan arti geometri turunannya, kita dapat menulis , bahwa g(a) =tg45°;=1.

3. Mari kita kembali ke fungsi y = f(x). Kita punya:

4. Kita telah menetapkan bahwa untuk nilai a apa pun, relasi tersebut valid. Alih-alih huruf a, tentu saja Anda bisa menggunakan huruf x; lalu kita dapatkan

Dari rumus ini kita memperoleh rumus integrasi yang sesuai:

A.G. Aljabar Mordkovich kelas 10

Perencanaan tematik kalender dalam matematika, video dalam matematika online, unduhan Matematika di sekolah

Isi pelajaran catatan pelajaran kerangka pendukung metode percepatan penyajian pelajaran teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan lokakarya tes mandiri, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah, pertanyaan diskusi, pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video dan multimedia foto, gambar, grafik, tabel, diagram, humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Pengaya abstrak artikel trik untuk boks penasaran buku teks kamus dasar dan tambahan istilah lainnya Menyempurnakan buku teks dan pelajaranmemperbaiki kesalahan pada buku teks pemutakhiran suatu penggalan dalam buku teks, unsur inovasi dalam pembelajaran, penggantian pengetahuan yang sudah ketinggalan zaman dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun ini; rekomendasi metodologis; program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Topik pelajaran: “Diferensiasi fungsi eksponensial dan logaritma. Antiturunan fungsi eksponensial” pada tugas UNT

Target : mengembangkan keterampilan siswa dalam menerapkan pengetahuan teoritis pada topik “Diferensiasi fungsi eksponensial dan logaritma. Antiturunan fungsi eksponensial" untuk menyelesaikan soal UNT.

Tugas

Pendidikan: mensistematisasikan pengetahuan teoritis siswa, mengkonsolidasikan keterampilan pemecahan masalah pada topik ini.

Pendidikan: mengembangkan daya ingat, observasi, pemikiran logis, ucapan matematis siswa, perhatian, harga diri dan keterampilan pengendalian diri.

Pendidikan: menyumbang:

mengembangkan sikap bertanggung jawab terhadap pembelajaran di kalangan siswa;

pengembangan minat berkelanjutan pada matematika;

menciptakan motivasi internal yang positif untuk belajar matematika.

Metode pengajaran: verbal, visual, praktis.

Bentuk pekerjaan: individu, frontal, berpasangan.

Selama kelas

Prasasti: “Pikiran tidak hanya terletak pada pengetahuan, tetapi juga pada kemampuan menerapkan pengetahuan dalam praktik” Aristoteles (slide 2)

I. Momen organisasi.

II. Memecahkan teka-teki silang. (slide 3-21)

Ahli matematika Perancis abad ke-17, Pierre Fermat, mendefinisikan garis ini sebagai “Garis lurus yang paling dekat berbatasan dengan kurva di lingkungan kecil titik tersebut.”

Garis singgung

Suatu fungsi yang diberikan oleh rumus y = log A X.

Logaritma

Suatu fungsi yang diberikan oleh rumus y = A X.

Indikatif

Dalam matematika, konsep ini digunakan untuk mencari kecepatan pergerakan suatu titik material dan koefisien sudut garis singgung grafik suatu fungsi pada suatu titik tertentu.

Turunan

Apa nama fungsi F(x) untuk fungsi f(x), jika kondisi F"(x) =f(x) terpenuhi pada sembarang titik pada interval I.

Antiturunan

Apa nama hubungan antara X dan Y, yang mana setiap unsur X berhubungan dengan satu unsur Y.

Turunan dari perpindahan

Kecepatan

Suatu fungsi yang diberikan oleh rumus y = e x.

Eksponen

Jika suatu fungsi f(x) dapat direpresentasikan sebagai f(x)=g(t(x)), maka fungsi tersebut disebut...

AKU AKU AKU. Dikte matematika (slide 22)

1. Tuliskan rumus turunan fungsi eksponensial. ( A x)" = A x dalam A

2. Tuliskan rumus turunan eksponensial. (ex)" = ex

3. Tuliskan rumus turunan logaritma natural. (dalam x)"=

4. Tuliskan rumus turunan fungsi logaritma. (catatan A x)"=

5. Tuliskan bentuk umum antiturunan dari fungsi f(x) = A X. F(x)=

6. Tuliskan bentuk umum antiturunan dari fungsi f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Periksa pekerjaan Anda (jawaban ada di slide 23).

IV. Menyelesaikan soal UNT (simulator)

A) Nomor 1,2,3,6,10,36 di papan dan di buku catatan (slide 24)

B) Bekerja berpasangan No. 19,28 (simulator) (slide 25-26)

V. 1. Temukan kesalahan: (slide 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f"(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f"(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Presentasi siswa.

Prasasti: “Pengetahuan adalah suatu hal yang sangat berharga sehingga tidak ada salahnya memperolehnya dari sumber manapun” Thomas Aquinas (slide 28)

VII. Pekerjaan Rumah No. 19,20 hal.116

VIII. Tes (tugas cadangan) (slide 29-32)

IX. Ringkasan pelajaran.

“Jika Anda ingin berpartisipasi dalam kehidupan yang besar, maka isilah kepala Anda dengan matematika selagi Anda memiliki kesempatan. Dia kemudian akan memberi Anda bantuan besar sepanjang hidup Anda” M. Kalinin (slide 33)

Membiarkan
(1)
adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel x. Pertama, kita akan mempertimbangkannya pada himpunan nilai x yang y bernilai positif: . Berikut ini kami akan menunjukkan bahwa semua hasil yang diperoleh juga berlaku untuk nilai negatif .

Dalam beberapa kasus, untuk mencari turunan dari fungsi (1), akan lebih mudah untuk melakukan pra-logaritma terlebih dahulu
,
lalu hitung turunannya. Kemudian, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks,
.
Dari sini
(2) .

Turunan logaritma suatu fungsi disebut turunan logaritma:
.

Turunan logaritma dari fungsi y = f(x) adalah turunan dari logaritma natural dari fungsi ini: (dalam f(x))′.

Kasus nilai y negatif

Sekarang perhatikan kasus ketika suatu variabel dapat mengambil nilai positif dan negatif. Dalam hal ini, ambil logaritma modulus dan temukan turunannya:
.
Dari sini
(3) .
Artinya, secara umum, Anda perlu mencari turunan logaritma modulus fungsi.

Membandingkan (2) dan (3) kita memiliki:
.
Artinya, hasil formal penghitungan turunan logaritma tidak bergantung pada apakah kita mengambil modulo atau tidak. Oleh karena itu, saat menghitung turunan logaritma, kita tidak perlu mengkhawatirkan tanda apa yang dimiliki fungsi tersebut.

Situasi ini dapat diperjelas dengan menggunakan bilangan kompleks. Misalkan, untuk beberapa nilai x, bernilai negatif: . Jika kita hanya mempertimbangkan bilangan real, maka fungsinya tidak terdefinisi. Namun, jika kita memasukkan bilangan kompleks ke dalam pertimbangan, kita mendapatkan yang berikut:
.
Artinya, fungsi dan berbeda dengan konstanta kompleks:
.
Karena turunan suatu konstanta adalah nol, maka
.

Properti turunan logaritma

Dari pertimbangan seperti itu maka berikut ini turunan logaritmik tidak akan berubah jika fungsi tersebut dikalikan dengan konstanta sembarang :
.
Memang menggunakan sifat-sifat logaritma, rumus jumlah turunan Dan turunan dari suatu konstanta, kita punya:

.

Penerapan turunan logaritmik

Turunan logaritmik lebih mudah digunakan jika fungsi aslinya terdiri dari produk pangkat atau fungsi eksponensial. Dalam hal ini, operasi logaritma mengubah hasil kali fungsi menjadi jumlah fungsi tersebut. Ini menyederhanakan penghitungan turunannya.

Contoh 1

Temukan turunan dari fungsi tersebut:
.

Larutan

Mari kita logaritma fungsi aslinya:
.

Mari kita bedakan terhadap variabel x.
Dalam tabel turunan kita menemukan:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
;
;
;
;
(A1.1) .
Kalikan dengan:

.

Jadi, kami menemukan turunan logaritma:
.
Dari sini kita mencari turunan dari fungsi aslinya:
.

Catatan

Jika kita hanya ingin menggunakan bilangan real, maka kita harus mengambil logaritma modulus fungsi aslinya:
.
Kemudian
;
.
Dan kami mendapat rumus (A1.1). Oleh karena itu hasilnya tidak berubah.

Menjawab

Contoh 2

Dengan menggunakan turunan logaritma, carilah turunan fungsi tersebut
.

Larutan

Mari kita ambil logaritma:
(A2.1) .
Diferensialkan terhadap variabel x:
;
;

;
;
;
.

Kalikan dengan:
.
Dari sini kita mendapatkan turunan logaritma:
.

Turunan dari fungsi aslinya:
.

Catatan

Di sini fungsi aslinya adalah non-negatif: . Hal ini didefinisikan pada . Jika kita tidak berasumsi bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai argumen negatif, maka rumus (A2.1) harus ditulis sebagai berikut:
.
Karena

Dan
,
ini tidak akan mempengaruhi hasil akhir.

Menjawab

Contoh 3

Temukan turunannya
.

Larutan

Kami melakukan diferensiasi menggunakan turunan logaritmik. Mari kita ambil logaritma, dengan mempertimbangkan bahwa:
(A3.1) .

Dengan melakukan diferensiasi, kita memperoleh turunan logaritma.
;
;
;
(A3.2) .

Dari dulu

.

Catatan

Mari kita melakukan perhitungan tanpa asumsi bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai argumen negatif. Untuk melakukan ini, ambil logaritma modulus fungsi asli:
.
Maka alih-alih (A3.1) kita memiliki:
;

.
Dibandingkan dengan (A3.2) kita melihat bahwa hasilnya tidak berubah.