Fungsikamu = dosaX
Grafik fungsinya adalah sinusoidal.
Bagian lengkap gelombang sinus yang tidak berulang disebut gelombang sinus.
Setengah gelombang sinus disebut setengah gelombang sinus (atau busur).
Properti fungsikamu =
dosaX:
3) Ini adalah fungsi ganjil. 4) Ini adalah fungsi berkelanjutan.
6) Pada ruas [-π/2; fungsi π/2] bertambah pada interval [π/2; 3π/2] – berkurang. 7) Pada interval fungsi mengambil nilai positif. 8) Interval kenaikan fungsi: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Titik minimum fungsi: -π/2 + 2πn. |
Untuk membuat grafik suatu fungsi kamu= dosa X Lebih mudah menggunakan skala berikut:
Pada selembar kertas yang berbentuk persegi, kita ambil panjang dua persegi sebagai satuan ruas.
Pada sumbu X Mari kita ukur panjangnya π. Pada saat yang sama, untuk memudahkan, kami menyajikan 3,14 sebagai 3 - yaitu, tanpa pecahan. Kemudian pada selembar kertas dalam satu sel π akan ada 6 sel (tiga kali 2 sel). Dan setiap sel akan menerima nama aslinya sendiri (dari yang pertama hingga keenam): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Inilah maknanya X.
Pada sumbu y kita tandai 1, yang mencakup dua sel.
Mari buat tabel nilai fungsi menggunakan nilai kita X:
√3 | √3 |
Selanjutnya kita akan membuat jadwal. Hasilnya adalah setengah gelombang, titik tertingginya adalah (π/2; 1). Ini adalah grafik fungsinya kamu= dosa X pada segmen tersebut. Mari kita tambahkan setengah gelombang simetris ke grafik yang dibangun (simetris terhadap titik asal, yaitu pada segmen -π). Puncak setengah gelombang ini berada di bawah sumbu x dengan koordinat (-1; -1). Hasilnya akan menjadi gelombang. Ini adalah grafik fungsinya kamu= dosa X pada segmen [-π; π].
Anda dapat melanjutkan gelombang dengan membangunnya pada segmen [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], dll. Pada semua segmen tersebut, grafik fungsinya akan terlihat sama seperti pada segmen [-π; π]. Anda akan mendapatkan garis bergelombang terus menerus dengan gelombang yang identik.
Fungsikamu = karenaX.
Grafik suatu fungsi adalah gelombang sinus (kadang-kadang disebut gelombang kosinus).
Properti fungsikamu = karenaX:
1) Daerah definisi suatu fungsi adalah himpunan bilangan real. 2) Rentang nilai fungsi adalah segmen [–1; 1] 3) Ini adalah fungsi genap. 4) Ini adalah fungsi berkelanjutan. 5) Koordinat titik potong grafik: 6) Pada ruas fungsinya menurun, pada ruas [π; 2π] – meningkat. 7) Pada interval [-π/2 + 2πn; Fungsi π/2 + 2πn] bernilai positif. 8) Peningkatan interval: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Poin minimum dari fungsi: π + 2πn. 10) Fungsinya dibatasi dari atas dan bawah. Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah –1, 11) Ini adalah fungsi periodik dengan periode 2π (T = 2π) |
Fungsikamu = mf(X).
Mari kita ambil fungsi sebelumnya kamu= karena X. Seperti yang sudah Anda ketahui, grafiknya adalah gelombang sinus. Jika kosinus fungsi ini dikalikan dengan bilangan m tertentu, maka gelombang akan memuai dari sumbunya X(atau akan menyusut, tergantung nilai m).
Gelombang baru ini akan menjadi grafik fungsi y = mf(x), dimana m adalah bilangan real apa pun.
Jadi, fungsi y = mf(x) adalah fungsi familiar y = f(x) dikalikan dengan m.
JikaM< 1, то синусоида сжимается к оси X oleh koefisienM. Jikam > 1, maka sinusoidal tersebut diregangkan dari sumbunyaX oleh koefisienM.
Saat melakukan peregangan atau kompresi, pertama-tama Anda dapat memplot hanya satu setengah gelombang gelombang sinus, lalu menyelesaikan seluruh grafik.
Fungsikamu = F(kx).
Jika fungsinya kamu =mf(X) menyebabkan peregangan sinusoidal dari sumbu X atau kompresi terhadap sumbu X, maka fungsi y = f(kx) menyebabkan peregangan dari sumbu kamu atau kompresi terhadap sumbu kamu.
Selain itu, k adalah bilangan real apa pun.
Pada 0< k< 1 синусоида растягивается от оси kamu oleh koefisienk. Jikak > 1, maka sinusoidal tersebut tertekan menuju sumbukamu oleh koefisienk.
Saat membuat grafik fungsi ini, pertama-tama Anda dapat membuat setengah gelombang gelombang sinus, lalu menggunakannya untuk melengkapi keseluruhan grafik.
Fungsikamu = tgX.
Grafik fungsi kamu= tg X adalah garis singgung.
Cukup dengan membuat bagian grafik dalam interval dari 0 hingga π/2, dan kemudian Anda dapat melanjutkannya secara simetris dalam interval dari 0 hingga 3π/2.
Properti fungsikamu = tgX:
Fungsikamu = ctgX
Grafik fungsi kamu=ctg X juga merupakan tangentoid (kadang-kadang disebut kotangentoid).
Properti fungsikamu = ctgX:
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi y=sin(x). Definisi dan sifat"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Memecahkan masalah dalam geometri. Tugas konstruksi interaktif untuk kelas 7-10
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"
Apa yang akan kita pelajari:
- Sifat-sifat fungsi Y=sin(X).
- Grafik fungsi.
- Cara membuat grafik dan skalanya.
- Contoh.
Sifat-sifat sinus. Y=dosa(X)
Teman-teman, kita sudah mengenal fungsi trigonometri dari argumen numerik. Apakah Anda ingat mereka?
Mari kita lihat lebih dekat fungsi Y=sin(X)
Mari tuliskan beberapa properti dari fungsi ini:
1) Daerah definisinya adalah himpunan bilangan real.
2) Fungsinya ganjil. Mari kita ingat kembali definisi fungsi ganjil. Suatu fungsi disebut ganjil jika persamaannya memenuhi: y(-x)=-y(x). Seperti yang kita ingat dari rumus hantu: sin(-x)=-sin(x). Definisi tersebut terpenuhi, artinya Y=sin(X) merupakan fungsi ganjil.
3) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada ruas dan menurun pada ruas [π/2; π]. Saat kita bergerak sepanjang kuarter pertama (berlawanan arah jarum jam), ordinatnya bertambah, dan saat kita melewati kuarter kedua, ordinatnya berkurang.
4) Fungsi Y=sin(X) dibatasi dari bawah dan dari atas. Properti ini mengikuti fakta bahwa
-1 ≤ dosa(X) ≤ 1
5) Nilai fungsi terkecil adalah -1 (pada x = - π/2+ πk). Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 1 (pada x = π/2+ πk).
Mari gunakan properti 1-5 untuk memplot fungsi Y=sin(X). Kami akan membuat grafik kami secara berurutan, menerapkan properti kami. Mari kita mulai membuat grafik pada segmen tersebut.
Perhatian khusus harus diberikan pada skalanya. Pada sumbu ordinat akan lebih mudah untuk mengambil segmen satuan yang sama dengan 2 sel, dan pada sumbu absis akan lebih mudah untuk mengambil segmen satuan (dua sel) yang sama dengan π/3 (lihat gambar).
_2.png)
Merencanakan fungsi sinus x, y=sin(x)
Mari kita hitung nilai fungsi pada segmen kita:
_3.png)
Mari kita buat grafik menggunakan titik-titik kita, dengan mempertimbangkan properti ketiga.
_4.png)
Tabel konversi rumus hantu
Mari kita gunakan properti kedua, yang menyatakan bahwa fungsi kita ganjil, yang berarti dapat dicerminkan secara simetris terhadap titik asal:
_5.png)
Kita tahu bahwa sin(x+ 2π) = sin(x). Artinya pada interval [- π; π] grafiknya terlihat sama seperti pada segmen [π; 3π] atau atau [-3π; - π] dan seterusnya. Yang harus kita lakukan adalah menggambar ulang grafik pada gambar sebelumnya secara hati-hati di sepanjang sumbu x.
_6.png)
Grafik fungsi Y=sin(X) disebut sinusoidal.
Mari kita tulis beberapa properti lagi sesuai dengan grafik yang dibuat:
6) Fungsi Y=sin(X) bertambah pada sembarang ruas bentuk: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k adalah bilangan bulat dan berkurang pada setiap segmen dengan bentuk: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – bilangan bulat.
7) Fungsi Y=sin(X) merupakan fungsi kontinu. Mari kita lihat grafik fungsinya dan pastikan fungsi kita tidak ada jeda, artinya kontinuitas.
8) Rentang nilai: segmen [- 1; 1]. Hal ini juga terlihat jelas dari grafik fungsinya.
9) Fungsi Y=sin(X) - fungsi periodik. Mari kita lihat kembali grafiknya dan lihat bahwa fungsi tersebut mengambil nilai yang sama pada interval tertentu.
Contoh soal sinus
1. Selesaikan persamaan sin(x)= x-π
Solusi: Mari kita buat 2 grafik fungsi: y=sin(x) dan y=x-π (lihat gambar).
Grafik kita berpotongan di satu titik A(π;0), ini jawabannya: x = π
_7.png)
2. Gambarkan fungsi y=sin(π/6+x)-1
Penyelesaian: Grafik yang diinginkan diperoleh dengan menggerakkan grafik fungsi y=sin(x) π/6 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah.
_8.png)
Solusi: Mari kita gambarkan fungsinya dan pertimbangkan segmen kita [π/2; 5π/4].
Grafik fungsi menunjukkan bahwa nilai terbesar dan terkecil dicapai di ujung segmen, masing-masing di titik π/2 dan 5π/4.
Jawaban: sin(π/2) = 1 – nilai terbesar, sin(5π/4) = nilai terkecil.
_9.png)
Masalah sinus untuk solusi independen
- Selesaikan persamaan: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Gambarkan fungsi y=sin(π/3+x)-2
- Gambarkan fungsi y=sin(-2π/3+x)+1
- Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada ruas tersebut
- Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y=sin(x) pada interval [- π/3; 5π/6]
Video pelajaran “Fungsi y = sinx, sifat ee dan grafik” menyajikan materi visual tentang topik ini, serta komentarnya. Selama demonstrasi, jenis fungsi, sifat-sifatnya dipertimbangkan, perilaku pada berbagai segmen bidang koordinat, fitur grafik dijelaskan secara rinci, dan contoh solusi grafis persamaan trigonometri yang mengandung sinus dijelaskan. Dengan bantuan video pembelajaran, guru lebih mudah merumuskan pemahaman siswa tentang fungsi ini dan mengajari mereka menyelesaikan masalah secara grafis.
Video pembelajaran menggunakan alat untuk memudahkan menghafal dan memahami informasi pendidikan. Dalam penyajian grafik dan dalam mendeskripsikan solusi masalah, digunakan efek animasi yang membantu memahami perilaku fungsi dan menyajikan kemajuan solusi secara berurutan. Selain itu, menyuarakan materi melengkapinya dengan komentar-komentar penting yang menggantikan penjelasan guru. Dengan demikian, bahan ini juga dapat digunakan sebagai alat bantu visual. Dan sebagai bagian mandiri dari pelajaran, bukan penjelasan guru tentang topik baru.
Demonstrasi diawali dengan pengenalan topik pelajaran. Fungsi sinus disajikan, deskripsinya disorot dalam kotak untuk dihafal - s=sint, di mana argumen t dapat berupa bilangan real apa pun. Penjelasan tentang sifat-sifat fungsi ini dimulai dengan domain definisi. Diketahui bahwa domain definisi fungsi adalah seluruh sumbu numerik bilangan real, yaitu D(f)=(- ∞;+∞). Sifat kedua adalah keanehan fungsi sinus. Siswa diingatkan bahwa sifat ini telah dipelajari di kelas 9, ketika diketahui bahwa untuk fungsi ganjil persamaan f(-x)=-f(x) berlaku. Untuk sinus, konfirmasi keanehan fungsi ditunjukkan pada lingkaran satuan yang dibagi menjadi empat bagian. Mengetahui tanda apa yang terdapat pada fungsi tersebut pada berbagai bagian bidang koordinat, perlu diperhatikan bahwa untuk argumen dengan tanda yang berlawanan, dengan menggunakan contoh titik L(t) dan N(-t), kondisi keanehan sinus terpenuhi. Oleh karena itu s=sint adalah fungsi ganjil. Artinya grafik fungsi tersebut simetris terhadap titik asal.
Sifat ketiga sinus menunjukkan interval antara fungsi naik dan turun. Dicatat bahwa fungsi ini bertambah pada ruas, dan menurun pada ruas [π/2;π]. Sifat tersebut ditunjukkan pada gambar, yang menunjukkan lingkaran satuan dan jika bergerak dari titik A berlawanan arah jarum jam, ordinatnya bertambah, yaitu nilai fungsinya bertambah menjadi π/2. Saat berpindah dari titik B ke C, yaitu ketika sudut berubah dari π/2 ke π, nilai ordinatnya berkurang. Pada kuarter ketiga lingkaran, ketika berpindah dari titik C ke titik D, ordinatnya berkurang dari 0 menjadi -1, yaitu nilai sinusnya berkurang. Pada kuarter terakhir, ketika berpindah dari titik D ke titik A, nilai ordinatnya bertambah dari -1 menjadi 0. Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan umum tentang perilaku fungsi tersebut. Layar menampilkan keluaran sint yang bertambah pada segmen [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], berkurang pada interval [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] untuk sembarang bilangan bulat k.
Sifat keempat sinus mempertimbangkan keterbatasan fungsi. Perlu dicatat bahwa fungsi sint dibatasi baik di atas maupun di bawah. Siswa diingatkan akan informasi aljabar kelas 9 ketika diperkenalkan dengan konsep batasan suatu fungsi. Kondisi suatu fungsi yang dibatasi dari atas ditampilkan di layar, yang mana terdapat bilangan tertentu yang pertidaksamaannya f(x)>=M berlaku di setiap titik pada fungsi tersebut. Kita juga mengingat kembali kondisi suatu fungsi yang dibatasi di bawah ini, yang mana terdapat bilangan m yang lebih kecil dari setiap titik pada fungsi tersebut. Untuk sint kondisi -1 terpenuhi<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
Properti kelima mempertimbangkan nilai fungsi terkecil dan terbesar. Tercapainya nilai terkecil -1 pada setiap titik t=-(π/2)+2πk, dan terbesar pada titik t=(π/2)+2πk dicatat.
Berdasarkan sifat-sifat yang dipertimbangkan, grafik fungsi sint dibuat pada segmen tersebut. Untuk membangun fungsi tersebut, nilai tabel sinus pada titik-titik yang bersesuaian digunakan. Koordinat titik π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π ditandai pada bidang koordinat. Dengan menandai tabel nilai fungsi pada titik-titik ini dan menghubungkannya dengan garis halus, kita membuat grafik.
Untuk memplot grafik fungsi sint pada segmen [-π;π], digunakan sifat simetri fungsi terhadap titik asal koordinat. Gambar tersebut menunjukkan bagaimana garis yang diperoleh sebagai hasil konstruksi dipindahkan secara simetris relatif terhadap titik asal ke segmen [-π;0].
Dengan menggunakan sifat fungsi sint, yang dinyatakan dalam rumus reduksi sin(x+2π) = sin x, diketahui bahwa setiap 2π grafik sinus berulang. Jadi, pada interval [π; 3π] grafiknya akan sama seperti pada [-π;π]. Jadi, grafik fungsi ini mewakili fragmen berulang [-π;π] di seluruh domain definisi. Perlu dicatat secara terpisah bahwa grafik suatu fungsi disebut sinusoida. Konsep gelombang sinus juga diperkenalkan - sebuah fragmen grafik yang dibangun di atas segmen [-π;π], dan busur sinusoidal yang dibangun di atas segmen tersebut. Fragmen ini ditampilkan lagi untuk dihafal.
Perlu diperhatikan bahwa fungsi sint merupakan fungsi kontinu pada seluruh domain definisi, dan juga rentang nilai fungsi tersebut terletak pada himpunan nilai segmen [-1;1].
Di akhir pelajaran video, solusi grafis untuk persamaan sin x=x+π dipertimbangkan. Jelasnya, solusi grafis persamaan tersebut adalah perpotongan grafik fungsi yang diberikan oleh ekspresi di ruas kiri dan fungsi yang diberikan oleh ekspresi di ruas kanan. Untuk menyelesaikan soal ini, dibuatlah sebuah bidang koordinat, yang di atasnya digambarkan sinusoidal yang bersesuaian y=sin x, dan sebuah garis lurus yang bersesuaian dengan grafik fungsi y=x+π dibuat. Grafik yang dibangun berpotongan di satu titik B(-π;0). Oleh karena itu x=-π akan menjadi solusi persamaan tersebut.
Video pembelajaran “Fungsi y = sinx, sifat ee dan grafik” akan membantu meningkatkan efektivitas pembelajaran matematika tradisional di sekolah. Anda juga dapat menggunakan materi visual saat melakukan pembelajaran jarak jauh. Buku panduan ini dapat membantu penguasaan topik bagi siswa yang memerlukan pelajaran tambahan untuk memahami materi lebih dalam.
DEKODE TEKS:
Topik pelajaran kita adalah “Fungsi y = sin x, sifat-sifatnya dan grafiknya.”
Sebelumnya kita telah mengenal fungsi s = sin t, dimana tϵR (es sama dengan sinus te, dimana te termasuk dalam himpunan bilangan real). Mari kita pelajari sifat-sifat fungsi ini:
SIFAT-SIFAT 1. Daerah definisinya adalah himpunan bilangan real R (er), yaitu D(f) = (- ; +) (de dari ef melambangkan interval dari minus tak terhingga hingga plus tak terhingga).
SIFAT 2. Fungsi s = sin t ganjil.
Pada pelajaran kelas 9, kita mempelajari bahwa fungsi y = f (x), x ϵX (y sama dengan ef dari x, dimana x termasuk dalam himpunan x besar) disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan tersebut X kesetaraan
f (- x) = - f (x) (eff dari minus x sama dengan minus ef dari x).
Dan karena ordinat titik L dan N yang simetris terhadap sumbu absis berlawanan, maka sin(- t) = -sint.
Artinya, s = sin t merupakan fungsi ganjil dan grafik fungsi s = sin t simetris terhadap titik asal pada sistem koordinat persegi panjang itu(te o es).
Mari kita perhatikan PROPERTI 3. Pada interval [ 0; ] (dari nol ke pi sebanyak dua) fungsi s = sin t bertambah dan berkurang pada ruas [; ](dari pi kali dua ke pi).
Hal ini terlihat jelas pada gambar: ketika suatu titik bergerak sepanjang lingkaran bilangan dari nol ke pi sebanyak dua (dari titik A ke B), ordinatnya berangsur-angsur bertambah dari 0 ke 1, dan ketika berpindah dari pi sebanyak dua ke pi (dari titik B ke C), ordinatnya berangsur-angsur berkurang dari 1 ke 0.
Ketika suatu titik bergerak sepanjang kuarter ketiga (dari titik C ke titik D), ordinat titik bergerak tersebut berkurang dari nol menjadi minus satu, dan ketika bergerak sepanjang kuarter keempat, ordinatnya bertambah dari minus satu menjadi nol. Oleh karena itu, kita dapat menarik kesimpulan umum: fungsi s = sin t bertambah pada interval tersebut
(dari minus pi sebanyak dua ditambah dua pi ka ke pi sebanyak dua ditambah dua pi ka), dan berkurang pada ruas [; (dari pi kali dua ditambah dua pi ka menjadi tiga pi kali dua ditambah dua pi ka), dimana
(ka termasuk dalam himpunan bilangan bulat).
PROPERTI 4. Fungsi s = sint dibatasi atas dan bawah.
Dari pelajaran kelas 9, ingat kembali definisi keterbatasan: suatu fungsi y = f(x) disebut dibatasi dari bawah jika semua nilai fungsi tersebut tidak kurang dari suatu bilangan tertentu M M sedemikian rupa sehingga untuk nilai apa pun x dari domain definisi fungsi, pertidaksamaan f (x) ≥ M(ef dari x lebih besar atau sama dengan em). Suatu fungsi y = f(x) dikatakan terbatas di atas jika seluruh nilai fungsi tersebut tidak lebih besar dari suatu bilangan tertentu M, ini berarti ada nomornya M sedemikian rupa sehingga untuk nilai apa pun x dari domain definisi fungsi, pertidaksamaan f (x) ≤ M(eff dari x lebih kecil atau sama dengan em) Suatu fungsi disebut dibatasi jika dibatasi di bawah dan di atasnya.
Mari kita kembali ke fungsi kita: keterbatasan mengikuti fakta bahwa untuk setiap te pertidaksamaan itu benar - 1 ≤ sint≤ 1. (sinus te lebih besar atau sama dengan minus satu, tetapi kurang dari atau sama dengan satu).
SIFAT 5. Nilai terkecil suatu fungsi sama dengan minus satu dan fungsi tersebut mencapai nilai ini di sembarang titik dalam bentuk t = (te sama dengan minus pi sebanyak dua ditambah dua puncak, dan nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah sama menjadi satu dan dicapai dengan fungsi di sembarang titik berbentuk t = (te sama dengan pi dikali dua ditambah dua pi ka).
Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi s = sin t melambangkan s terbanyak. dan s maks. .
Dengan menggunakan sifat-sifat yang diperoleh, kita akan membuat grafik fungsi y = sin x (y sama dengan sinus x), karena kita lebih terbiasa menulis y = f (x) daripada s = f (t).
Untuk memulainya, mari kita pilih skala: sepanjang sumbu ordinat, ambil dua sel sebagai segmen satuan, dan sepanjang sumbu absis, dua sel adalah pi kali tiga (karena ≈ 1). Pertama, kita buat grafik fungsi y = sin x pada ruas tersebut. Kita memerlukan tabel nilai fungsi pada segmen ini, untuk membangunnya kita akan menggunakan tabel nilai sudut kosinus dan sinus yang bersesuaian:
Jadi, untuk membuat tabel nilai argumen dan fungsi, Anda harus mengingatnya X(x) bilangan ini sama dengan sudut dalam interval dari nol sampai pi, dan pada(Yunani) nilai sinus sudut ini.
Mari tandai titik-titik ini pada bidang koordinat. Menurut PROPERTI 3 pada segmen tersebut
[ 0; ] (dari nol ke pi sebanyak dua) fungsi y = sin x bertambah dan berkurang pada ruas [; ](dari pi sebanyak dua ke pi) dan menghubungkan titik-titik yang dihasilkan dengan garis halus, kita mendapatkan bagian dari grafik (Gbr. 1)
Dengan menggunakan simetri grafik fungsi ganjil terhadap titik asal, kita memperoleh grafik fungsi y = sin x yang sudah ada pada segmen tersebut.
[-π; π ] (dari minus pi ke pi) (Gbr. 2)
Ingatlah bahwa sin(x + 2π)= sinx
(sinus x ditambah dua pi sama dengan sinus x). Artinya di titik x + 2π fungsi y = sin x bernilai sama seperti di titik x. Dan karena (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x ditambah dua pi termasuk dalam segmen dari pi hingga tiga pi), jika xϵ[-π; π ], lalu pada ruas [π; 3π ] grafik fungsinya terlihat sama persis seperti pada segmen [-π; π]. Demikian pula pada ruas , , [-3π; -π ] dan seterusnya, grafik fungsi y = sin x terlihat sama seperti pada segmen tersebut
[-π; π].(Gbr.3)
Garis yang merupakan grafik fungsi y = sin x disebut gelombang sinus. Bagian gelombang sinus yang ditunjukkan pada Gambar 2 disebut gelombang sinus, sedangkan pada Gambar 1 disebut gelombang sinus atau setengah gelombang.
Dengan menggunakan grafik yang dibuat, kami menuliskan beberapa properti lagi dari fungsi ini.
SIFAT 6. Fungsi y = sin x merupakan fungsi kontinu. Artinya grafik fungsinya kontinu, yaitu tidak ada lompatan atau tusukan.
PROPERTI 7. Rentang nilai fungsi y = sin x adalah ruas [-1; 1] (dari minus satu ke satu) atau dapat ditulis seperti ini: (e dari ef sama dengan ruas dari minus satu ke satu).
Mari kita lihat CONTOH. Selesaikan secara grafis persamaan sin x = x + π (sinus x sama dengan x ditambah pi).
Larutan. Mari kita membuat grafik fungsi kamu = dosa X Dan kamu = x + π.
Grafik fungsi y = sin x adalah sinusoidal.
y = x + π merupakan fungsi linier yang grafiknya berupa garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat (0; π) dan (- π ; 0).
Grafik yang dibangun memiliki satu titik potong - titik B(- π;0) (dengan koordinat dikurangi pi, nol). Artinya persamaan ini hanya memiliki satu akar - absis titik B - -π. Menjawab: X = - π.
Kami menemukan perilaku fungsi trigonometri, dan fungsinya y = dosa x secara khusus, pada seluruh garis bilangan (atau untuk semua nilai argumen X) sepenuhnya ditentukan oleh perilakunya dalam interval tersebut 0 < X < π / 2 .
Oleh karena itu, pertama-tama, kita akan memplot fungsinya y = dosa x tepatnya pada interval ini.
Mari kita buat tabel nilai fungsi kita berikut ini;
Dengan menandai titik-titik yang bersesuaian pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan garis halus, kita memperoleh kurva yang ditunjukkan pada gambar
Kurva yang dihasilkan juga dapat dibuat secara geometris, tanpa menyusun tabel nilai fungsi y = dosa x .
1. Bagilah seperempat bagian pertama lingkaran yang berjari-jari 1 menjadi 8 bagian yang sama besar.Ordinat titik-titik pemisah lingkaran adalah sinus sudut-sudut yang bersesuaian.
2. Seperempat pertama lingkaran berhubungan dengan sudut dari 0 sampai π / 2 . Oleh karena itu, pada porosnya X Mari kita ambil satu segmen dan membaginya menjadi 8 bagian yang sama.
3. Mari kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu X, dan dari titik pembagian kita buat garis tegak lurus sampai berpotongan dengan garis mendatar.
4. Hubungkan titik potong tersebut dengan garis halus.
Sekarang mari kita lihat intervalnya π /
2
<
X <
π
.
Setiap nilai argumen X dari interval ini dapat direpresentasikan sebagai
X = π / 2 + φ
Di mana 0 < φ < π / 2 . Menurut rumus reduksi
dosa( π / 2 + φ ) = karena φ = dosa ( π / 2 - φ ).
Poin sumbu X dengan absis π / 2 + φ Dan π / 2 - φ simetris satu sama lain terhadap titik sumbu X dengan absis π / 2 , dan sinus pada titik-titik tersebut adalah sama. Hal ini memungkinkan kita memperoleh grafik fungsi y = dosa x dalam interval [ π / 2 , π ] hanya dengan menampilkan grafik fungsi ini secara simetris dalam interval relatif terhadap garis lurus X = π / 2 .
Sekarang menggunakan properti fungsi paritas ganjil y = dosa x,
dosa(- X) = - dosa X,
mudah untuk memplot fungsi ini dalam interval [- π , 0].
Fungsi y = sin x periodik dengan periode 2π ;. Oleh karena itu, untuk membuat grafik keseluruhan fungsi ini, cukup dengan melanjutkan kurva yang ditunjukkan pada gambar ke kiri dan ke kanan secara berkala dengan suatu periode. 2π .
Kurva yang dihasilkan disebut sinusoidal . Ini mewakili grafik fungsi y = dosa x.
Gambar tersebut menggambarkan dengan baik semua properti fungsi y = dosa x , yang telah kami buktikan sebelumnya. Mari kita mengingat kembali sifat-sifat ini.
1) Fungsi y = dosa x didefinisikan untuk semua nilai X , jadi domainnya adalah himpunan semua bilangan real.
2) Fungsi y = dosa x terbatas. Semua nilai yang diterimanya adalah antara -1 dan 1, termasuk kedua angka tersebut. Oleh karena itu, rentang variasi fungsi ini ditentukan oleh pertidaksamaan -1 < pada < 1. Kapan X = π / 2 + 2k π fungsi tersebut mengambil nilai terbesar sama dengan 1, dan untuk x = - π / 2 + 2k π - nilai terkecil sama dengan - 1.
3) Fungsi y = dosa x ganjil (sinusoidalnya simetris terhadap titik asal).
4) Fungsi y = dosa x periodik dengan periode 2 π .
5) Dalam interval 2n π < X < π + 2n π (n adalah bilangan bulat apa pun) positif, dan dalam interval π + 2k π < X < 2π + 2k π (k adalah bilangan bulat apa pun) negatif. Pada x = k π fungsinya menjadi nol. Oleh karena itu, nilai argumen x (0; ± π ; ±2 π ; ...) disebut fungsi nol y = dosa x
6) Secara berkala - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π fungsi kamu = dosa X meningkat secara monoton, dan dalam interval π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π itu menurun secara monoton.
Anda harus memberi perhatian khusus pada perilaku fungsinya y = dosa x dekat titik tersebut X = 0 .
Misalnya dosa 0,012 ≈ 0,012; dosa(-0,05) ≈ -0,05;
dosa 2° = dosa π 2 / 180 = dosa π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa untuk setiap nilai x
| dosa X| < | x | . (1)
Memang benar, jari-jari lingkaran yang ditunjukkan pada gambar sama dengan 1,
A /
AOB = X.
Lalu dosa X= AC. Tapi AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Panjang busur ini jelas sama dengan X, karena jari-jari lingkaran adalah 1. Jadi, di 0< X < π / 2
dosa x< х.
Oleh karena itu, karena keanehan fungsinya y = dosa x mudah untuk menunjukkan bahwa ketika - π / 2 < X < 0
| dosa X| < | x | .
Akhirnya kapan X = 0
| dosa x | = | x |.
Jadi, untuk | X | < π / 2 ketimpangan (1) telah terbukti. Faktanya, ketimpangan ini juga berlaku untuk | X | > π / 2 karena fakta bahwa | dosa X | < 1, sebuah π / 2 > 1
Latihan
1.Menurut grafik fungsinya y = dosa x tentukan: a) dosa 2; b) dosa 4; c) dosa (-3).
2.Menurut grafik fungsinya y = dosa x
tentukan bilangan mana dari interval tersebut
[ - π /
2 ,
π /
2
] memiliki sinus sama dengan: a) 0,6; b) -0,8.
3. Berdasarkan grafik fungsinya y = dosa x
tentukan bilangan mana yang mempunyai sinus,
sama dengan 1/2.
4. Cari kira-kira (tanpa menggunakan tabel): a) sin 1°; b) dosa 0,03;
c) dosa (-0,015); d) dosa (-2°30").
Dalam pelajaran ini kita akan melihat secara detail fungsi y = sin x, sifat dasar dan grafiknya. Pada awal pembelajaran kita akan memberikan definisi fungsi trigonometri y = sin t pada lingkaran koordinat dan memperhatikan grafik fungsi pada lingkaran dan garis. Mari kita tunjukkan periodisitas fungsi ini pada grafik dan pertimbangkan sifat-sifat utama fungsi tersebut. Di akhir pelajaran, kita akan menyelesaikan beberapa masalah sederhana menggunakan grafik suatu fungsi dan propertinya.
Topik: Fungsi trigonometri
Pelajaran: Fungsi y=sinx, sifat dasar dan grafiknya
Saat mempertimbangkan suatu fungsi, penting untuk mengaitkan setiap nilai argumen dengan satu nilai fungsi. Ini hukum korespondensi dan disebut fungsi.
Mari kita definisikan hukum korespondensi untuk .
Setiap bilangan real berhubungan dengan satu titik pada lingkaran satuan. Suatu titik mempunyai ordinat tunggal, yang disebut sinus dari bilangan tersebut (Gbr. 1).
Setiap nilai argumen dikaitkan dengan satu nilai fungsi.
Sifat-sifat yang jelas mengikuti definisi sinus.
Gambar tersebut menunjukkan hal itu 
Karena adalah ordinat suatu titik pada lingkaran satuan.
Perhatikan grafik fungsinya. Mari kita mengingat interpretasi geometris dari argumen tersebut. Argumennya adalah sudut pusat, diukur dalam radian. Sepanjang sumbu kita akan memplot bilangan real atau sudut dalam radian, sepanjang sumbu kita akan memplot nilai fungsi yang sesuai.
Misalnya, sudut pada lingkaran satuan berhubungan dengan suatu titik pada grafik (Gbr. 2)
Kita telah memperoleh grafik fungsi luas, namun dengan mengetahui periode sinus, kita dapat menggambarkan grafik fungsi tersebut pada seluruh domain definisi (Gbr. 3).
Periode utama dari fungsi tersebut Artinya grafik dapat diperoleh pada suatu segmen dan kemudian dilanjutkan ke seluruh domain definisi.
Perhatikan sifat-sifat fungsi:
1) Ruang lingkup definisi:
2) Rentang nilai: 
3) Fungsi ganjil:
4) Periode positif terkecil:
5) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu absis: 
6) Koordinat titik potong grafik dengan sumbu ordinat:
7) Interval di mana fungsi tersebut bernilai positif:
8) Interval di mana fungsi tersebut bernilai negatif:
9) Peningkatan interval:
10) Penurunan interval:
11) Poin minimal: 
12) Fungsi minimal:
13) Poin maksimum: 
14) Fungsi maksimal:
Kami melihat properti fungsi dan grafiknya. Properti tersebut akan digunakan berulang kali saat menyelesaikan masalah.
Bibliografi
1. Aljabar dan awal analisis, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku teks untuk lembaga pendidikan umum (tingkat profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 10 (buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika mendalam) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Kajian mendalam tentang aljabar dan analisis matematis.-M.: Pendidikan, 1997.
5. Kumpulan soal-soal matematika bagi pelamar perguruan tinggi (diedit oleh M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator aljabar.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Soal aljabar dan prinsip analisis (panduan untuk siswa kelas 10-11 lembaga pendidikan umum) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Kumpulan soal aljabar dan prinsip analisis: buku teks. tunjangan untuk kelas 10-11. dengan kedalaman dipelajari Matematika.-M.: Pendidikan, 2006.
Pekerjaan rumah
Aljabar dan awal analisis, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed.
A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Sumber daya web tambahan
3. Portal pendidikan untuk persiapan ujian ().