Fraktal ini dijelaskan pada tahun 1915 oleh ahli matematika Polandia Waclaw Sierpinski. Untuk mendapatkannya, Anda perlu mengambil segitiga (sama sisi) dengan bagian dalamnya, menggambar garis tengah di dalamnya dan membuang bagian tengah dari empat segitiga kecil yang terbentuk. Kemudian Anda perlu mengulangi langkah yang sama dengan masing-masing dari tiga segitiga yang tersisa, dan seterusnya. Gambar menunjukkan tiga langkah pertama, dan dalam demonstrasi kilat Anda dapat berlatih dan mendapatkan langkah hingga langkah kesepuluh.
Konstruksi segitiga Sierpinski Membuang segitiga pusat bukanlah satu-satunya cara untuk mendapatkan segitiga Sierpinski. Anda dapat bergerak “ke arah yang berlawanan”: ambil segitiga yang awalnya “kosong”, lalu lengkapi segitiga yang dibentuk oleh garis tengah di dalamnya, lalu lakukan hal yang sama pada masing-masing dari tiga segitiga sudut, dan seterusnya. akan sangat berbeda, tetapi seiring bertambahnya jumlah iterasi, keduanya akan menjadi semakin mirip satu sama lain, dan dalam batas tertentu keduanya akan bertepatan.
Konstruksi segitiga Sierpinski “dalam arah berlawanan” Cara selanjutnya untuk mendapatkan segitiga Sierpinski bahkan lebih mirip dengan skema biasa untuk membuat fraktal geometris dengan mengganti bagian dari iterasi berikutnya dengan fragmen berskala. Di sini, pada setiap langkah, segmen yang membentuk garis putus-putus diganti dengan garis putus-putus yang terdiri dari tiga tautan (diperoleh pada iterasi pertama). Anda perlu meletakkan garis putus-putus ini secara bergantian ke kanan lalu ke kiri. Terlihat bahwa iterasi kedelapan sudah sangat dekat dengan fraktal, dan semakin jauh, semakin dekat garis ke fraktal tersebut.
Cara lain untuk mendapatkan segitiga Sierpinski 
Permainan Kekacauan Tapi bukan itu saja. Ternyata segitiga Sierpinski diperoleh sebagai hasil dari salah satu jenis perjalanan acak suatu titik pada suatu bidang. Metode ini disebut "Permainan Kekacauan". Dengan bantuannya Anda dapat membuat beberapa fraktal lainnya.
Inti dari “permainan” adalah ini. Segitiga beraturan A 1 A 2 A 3 dipasang pada bidang. Tandai titik awal mana pun B 0 . Kemudian, salah satu dari tiga titik sudut segitiga dipilih secara acak dan titik B 1 ditandai - titik tengah ruas yang berakhir di titik sudut ini dan di B 0 (pada gambar di sebelah kanan, titik sudut A 1 dipilih secara acak). Hal yang sama diulangi dengan titik B 1 untuk mendapatkan B 2. Kemudian mereka mendapatkan titik B 3, B 4, dst. Penting agar titik tersebut “melompat” secara acak, yaitu setiap kali titik sudut segitiga dipilih secara acak, terlepas dari apa yang dipilih pada langkah sebelumnya. Mengejutkan bahwa jika Anda menandai titik-titik dari barisan B i , segitiga Sierpinski akan segera mulai muncul. Di bawah ini adalah apa yang terjadi ketika 100, 500 dan 2500 poin ditandai.
Permainan Kekacauan: 100, 500 dan 2500 poin Beberapa properti
Log dimensi fraktal 2 3 ≈ 1.584962... . Segitiga Sierpinski terdiri dari tiga salinan, masing-masing setengah ukurannya. Susunan relatifnya sedemikian rupa sehingga jika sel kisi dikurangi setengahnya, maka jumlah kotak yang berpotongan dengan fraktal akan menjadi tiga kali lipat. Artinya, N(δ/2) = 3N(δ). Jika pada awalnya ukuran sel adalah 1, dan N 0 diantaranya berpotongan dengan fraktal (N(1) = N 0), maka N(1/2) = 3N 0, N(1/4) = 3 2 N 0, .. ., N(1/2 k) = 3 k N 0 . Ternyata N(δ) sebanding dengan , dan menurut definisi dimensi fraktal, N(δ) sama dengan log 2 3 saja.
- Segitiga Sierpinski mempunyai luas nol. Artinya, tidak ada satu lingkaran pun, bahkan lingkaran yang sangat kecil sekalipun, yang dapat masuk ke dalam fraktal. Artinya, jika kita mulai dari konstruksi menggunakan metode pertama, seluruh bagian dalam telah “dihapus” dari segitiga: setelah setiap iterasi, luas yang tersisa dikalikan dengan 3/4, yaitu menjadi lebih kecil dan cenderung 0. Ini bukan bukti yang kuat, tetapi metode konstruksi lain hanya dapat meningkatkan keyakinan bahwa sifat ini masih benar.
- Koneksi tak terduga dengan kombinatorik. Jika pada segitiga Pascal dengan 2 n baris kita mengecat semua bilangan genap dengan warna putih dan bilangan ganjil dengan warna hitam, maka bilangan-bilangan yang terlihat tersebut membentuk segitiga Sierpinski (kira-kira).
Pilihan
Karpet (persegi, serbet) oleh Sierpinski. Versi persegi dijelaskan oleh Wacław Sierpinski pada tahun 1916. Dia berhasil membuktikan bahwa kurva apa pun yang dapat digambar pada bidang tanpa perpotongan adalah homeomorfik pada beberapa bagian dari persegi berlubang ini. Seperti halnya segitiga, persegi dapat dibuat dari berbagai desain. Di sebelah kanan adalah cara klasik: membagi persegi menjadi 9 bagian dan membuang bagian tengahnya. Kemudian hal yang sama diulangi untuk 8 kotak sisanya, dst.
Karpet Sierpinski, 5 iterasi pertama Ibarat segitiga, persegi mempunyai luas nol. Dimensi fraktal karpet Sierpinski sama dengan log 3 8, dihitung serupa dengan dimensi segitiga.
Piramida Sierpinski. Salah satu analogi tiga dimensi dari segitiga Sierpinski. Itu dibangun dengan cara yang sama, dengan mempertimbangkan tiga dimensi dari apa yang terjadi: 5 salinan piramida awal, dikompresi dua kali, merupakan iterasi pertama, 5 salinannya akan menjadi iterasi kedua, dll. Fraktal dimensi sama dengan log 2 5. Gambar tersebut memiliki volume nol (pada setiap langkah setengah volumenya dibuang), tetapi pada saat yang sama luas permukaan dipertahankan dari iterasi ke iterasi, dan untuk fraktal sama dengan untuk piramida awal.
Spons Menger. Generalisasi karpet Sierpinski menjadi ruang tiga dimensi. Untuk membuat spons, Anda memerlukan pengulangan prosedur yang tak ada habisnya: masing-masing kubus yang membentuk iterasi dibagi menjadi 27 kubus yang tiga kali lebih kecil, dari mana kubus di tengah dan 6 tetangganya dibuang. Artinya, setiap kubus menghasilkan 20 kubus baru, tiga kali lebih kecil. Oleh karena itu, dimensi fraktalnya adalah log 3 20. Fraktal ini adalah kurva universal: setiap kurva dalam ruang tiga dimensi bersifat homeomorfik terhadap beberapa subset spons. Spons mempunyai volume nol (karena pada setiap langkahnya dikalikan dengan 20/27), namun luasnya tak terhingga.
Segitiga Sierpinski- fraktal, salah satu analog dua dimensi dari himpunan Cantor, yang diusulkan oleh ahli matematika Polandia Waclaw Sierpinski pada tahun 1915. Juga dikenal sebagai "serbet" Sierpinski.
Segitiga Sierpinski
Konstruksi
Metode berulang
Konstruksi segitiga Sierpinski
Titik tengah sisi-sisi segitiga sama sisi dihubungkan oleh segmen-segmen. Anda mendapatkan 4 segitiga baru. Bagian dalam segitiga tengah dihilangkan dari segitiga aslinya. Ternyata banyak T 1 (\gaya tampilan T_(1)), terdiri dari 3 segitiga “peringkat pertama” yang tersisa. Melakukan hal yang persis sama dengan masing-masing segitiga pada peringkat pertama, kita memperoleh himpunannya T 2 (\gaya tampilan T_(2)), terdiri dari 9 segitiga sama sisi pangkat kedua. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kita mendapatkan barisan tak hingga T 0 ⊃ T 1 ⊃ ⋯ ⊃ T n ⊃ … (\displaystyle T_(0)\supset T_(1)\supset \dots \supset T_(n)\supset \dots ), perpotongan anggotanya adalah segitiga Sierpinski.
Metode kekacauan
1. Koordinat penarik ditentukan - titik sudut segitiga asal T 0 (\gaya tampilan T_(0)). 2. Ruang probabilitas (0 ; 1) (\gaya tampilan (0;1)) dibagi menjadi 3 bagian yang sama, yang masing-masing berhubungan dengan satu penarik. 3. Titik awal tertentu ditentukan P 0 (\gaya tampilan P_(0)), berbaring di dalam segitiga T 0 (\gaya tampilan T_(0)). 4. Awal siklus pembuatan titik-titik yang termasuk dalam himpunan segitiga Sierpinski. 1. Nomor acak dihasilkan n ∈ (0 ; 1) (\displaystyle n\in (0;1)). 2. Penarik aktif menjadi simpul yang subruang probabilistiknya menghasilkan bilangan yang dihasilkan. 3. Sebuah titik sedang dibangun P i (\gaya tampilan P_(i)) dengan koordinat baru: x saya = x saya − 1 + x A 2 ; y i = y i − 1 + y A 2 (\displaystyle x_(i)=(\frac (x_(i-1)+x_(A))(2));y_(i)=(\frac (y_(i -1)+y_(A))(2))), Di mana: x i − 1 , y i − 1 (\displaystyle x_(i-1),y_(i-1))- koordinat titik sebelumnya P i − 1 (\displaystyle P_(i-1)); x A , y A (\displaystyle x_(A),y_(A))- koordinat titik penarik aktif. 5. Kembali ke awal siklus.Properti
Konstruksi dengan metode berulang
Konstruksi menggunakan metode chaos
Catatan
Tautan
sistem-LSistem L atau sistem Lindenmayer adalah sistem penulisan ulang paralel dan sejenis tata bahasa formal. Sistem L terdiri dari alfabet simbol yang dapat digunakan untuk membuat string, seperangkat aturan pembangkitan yang menentukan aturan substitusi untuk setiap simbol, string awal (“aksioma”) yang menjadi awal konstruksi, dan mekanisme untuk menerjemahkan string yang dihasilkan ke dalam struktur geometris. Sistem-L diusulkan dan dikembangkan pada tahun 1968 oleh Aristide Lindenmayer, seorang ahli biologi dan botani Hongaria di Universitas Utrecht. Lindenmayer menggunakan sistem L untuk mendeskripsikan perilaku sel tumbuhan dan memodelkan proses perkembangan tumbuhan. Sistem-L juga telah digunakan untuk memodelkan morfologi berbagai organisme dan dapat digunakan untuk menghasilkan fraktal yang serupa seperti sistem fungsi yang dapat diubah.
Raket (bahasa pemrograman)Racket (sebelumnya PLTScheme) adalah bahasa pemrograman tujuan umum multi-paradigma milik keluarga Lisp/Scheme. Menyediakan lingkungan untuk pemrograman berorientasi bahasa - salah satu tujuan raket adalah pembuatan, pengembangan, dan implementasi bahasa pemrograman. Bahasa ini digunakan dalam berbagai konteks: sebagai bahasa skrip, sebagai bahasa tujuan umum, dalam pengajaran ilmu komputer, dalam penelitian ilmiah.
Platform ini memberi pengguna implementasi bahasa Racket, termasuk sistem run time yang dikembangkan, berbagai perpustakaan, kompiler JIT, dll., serta lingkungan pengembangan DrRacket (sebelumnya dikenal sebagai DrScheme) yang ditulis dalam Racket. Kerangka perangkat lunak ini digunakan dalam kursus ProgramByDesign MIT. Bahasa inti Racket memiliki sistem makro yang kuat yang memungkinkan Anda membuat bahasa pemrograman tertanam dan spesifik domain, konstruksi bahasa (misalnya, kelas dan modul) dan dialek Racket dengan semantik berbeda.
Sistem ini adalah perangkat lunak bebas dan sumber terbuka yang didistribusikan berdasarkan ketentuan LGPL. Ekstensi dan paket yang ditulis oleh komunitas tersedia di PLAneT, distribusi web sistem.
Algoritma kompresi fraktalKompresi gambar fraktal adalah algoritma kompresi gambar lossy yang didasarkan pada penerapan sistem fungsi iterasi (biasanya transformasi affine) pada gambar. Algoritme ini dikenal karena dalam beberapa kasus memungkinkan seseorang memperoleh rasio kompresi yang sangat tinggi dengan kualitas visual yang dapat diterima untuk foto objek alam yang sebenarnya. Karena situasi sulit dalam mematenkan, algoritma ini tidak banyak digunakan.
Membagi ubinRep-tile adalah konsep geometri mosaik, suatu gambar yang dapat dipotong menjadi salinan yang lebih kecil dari gambar itu sendiri. Pada tahun 2012, generalisasi ubin yang dapat dibagi disebut set ubin self-tiling diusulkan oleh ahli matematika Inggris Lee Salous di Majalah Matematika.
Aturan pembagian terakhirDalam matematika, aturan utama pembagian adalah cara rekursif untuk membagi poligon dan bentuk dua dimensi lainnya menjadi bagian-bagian yang semakin kecil. Aturan subdivisi dalam pengertian ini adalah generalisasi dari fraktal. Daripada mengulangi pola yang sama berulang kali, ada perubahan halus di setiap langkah, memungkinkan struktur yang lebih kaya namun tetap mempertahankan gaya fraktal yang elegan. Aturan subdivisi digunakan dalam arsitektur, biologi dan ilmu komputer, serta dalam studi manifold hiperbolik. Substitusi petak adalah jenis aturan subdivisi yang banyak dipelajari.
Kurva PeanoKurva Peano adalah nama umum untuk kurva parametrik yang gambarnya berisi persegi (atau, lebih umum, wilayah ruang terbuka). Nama lainnya adalah kurva pengisian ruang.
Dinamakan setelah Giuseppe Peano (1858-1932), penemu kurva semacam ini, kurva Peano adalah nama yang diberikan untuk kurva spesifik yang ditemukan Peano.
Kurva SierpinskiKurva Sierpinski adalah urutan kurva fraktal planar tertutup kontinu yang ditentukan secara rekursif yang ditemukan oleh Waclaw Sierpinski. Kurva batas pada memenuhi seluruh persegi satuan, sehingga disebut juga kurva batas Kurva Sierpinski, adalah contoh kurva pengisian ruang.
Karena kurva Sierpinski mengisi ruang, dimensi Hausdorffnya (dalam batas di n → ∞ (\displaystyle n\panah kanan \infty )) adalah sama dengan 2 (\gaya tampilan 2).
Panjang kurva Euclidean
yaitu, ia sedang berkembang secara eksponensial Oleh n (\gaya tampilan n), dan batasnya di n → ∞ (\displaystyle n\panah kanan \infty ) luas daerah yang dibatasi oleh kurva S n (\gaya tampilan S_(n)), adalah 5 / 12 (\gaya tampilan 5/12) persegi (dalam metrik Euclidean).
LogaritmaLogaritma suatu bilangan b (\gaya tampilan b) berdasarkan a (\gaya tampilan a) (dari bahasa Yunani kuno. λόγος "kata; sikap" + ἀριθμός "angka") didefinisikan sebagai indikator kekuatan yang basisnya harus dinaikkan a (\gaya tampilan a) untuk mendapatkan nomornya b (\gaya tampilan b). Penamaan: log a b (\displaystyle \log _(a)b), diucapkan: " logaritma b (\gaya tampilan b) berdasarkan a (\gaya tampilan a) ».
Dari definisi berikut temuan itu x = log a b (\displaystyle x=\log _(a)b) setara dengan menyelesaikan persamaan a x = b (\gaya tampilan a^(x)=b). Misalnya, log 2 8 = 3 (\displaystyle \log _(2)8=3), Karena 2 3 = 8 (\gaya tampilan 2^(3)=8).
Menghitung logaritma disebut dengan logaritma. Angka a , b (\gaya tampilan a,b) paling sering nyata, tetapi ada juga teori logaritma kompleks.
Logaritma memiliki sifat unik yang menentukan penggunaannya secara luas untuk menyederhanakan perhitungan padat karya secara signifikan. Ketika berpindah “ke dunia logaritma”, perkalian digantikan dengan penjumlahan yang lebih sederhana, pembagian digantikan dengan pengurangan, dan eksponensial serta ekstraksi akar masing-masing diubah menjadi perkalian dan pembagian dengan eksponen. Laplace mengatakan bahwa penemuan logaritma, “dengan memperpendek pekerjaan astronom, menggandakan umurnya.”
Definisi logaritma dan tabel nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh ahli matematika Skotlandia John Napier. Tabel logaritma, diperluas dan disempurnakan oleh ahli matematika lain, banyak digunakan untuk perhitungan ilmiah dan teknik selama lebih dari tiga abad, hingga munculnya kalkulator elektronik dan komputer.
Seiring waktu, menjadi jelas bahwa fungsi logaritma y = log a x (\displaystyle y=\log _(a)x) tidak tergantikan di banyak bidang aktivitas manusia lainnya: menyelesaikan persamaan diferensial, mengklasifikasikan nilai besaran (misalnya, frekuensi dan intensitas suara), perkiraan berbagai ketergantungan, teori informasi, teori probabilitas, dll. Fungsi ini adalah salah satunya yang dasar, itu adalah kebalikan dari fungsi eksponensial. Yang paling umum digunakan adalah logaritma real dengan basis 2 (\gaya tampilan 2)(biner), e (\displaystyle e) (logaritma natural) dan 10 (\gaya tampilan 10)(desimal).
nanoteknologi berbasis DNANanoteknologi DNA adalah pengembangan dan produksi struktur buatan dari asam nukleat untuk penggunaan teknologi. Dalam bidang keilmuan ini, asam nukleat digunakan bukan sebagai pembawa informasi genetik pada sel hidup, melainkan sebagai bahan untuk kebutuhan rekayasa nonbiologis material nano.
Teknologi ini menggunakan aturan ketat untuk pasangan basa asam nukleat, yang hanya memungkinkan bagian untaian dengan rangkaian basa komplementer dihubungkan bersama untuk membentuk struktur heliks ganda yang kuat dan kaku. Dari aturan-aturan ini, menjadi mungkin untuk merekayasa rangkaian basa yang akan dirakit secara selektif untuk membentuk struktur target yang kompleks dengan bentuk dan sifat skala nano yang disesuaikan secara tepat. Sebagian besar bahan dibuat menggunakan DNA, namun struktur yang menggabungkan asam nukleat lain seperti RNA dan asam nukleat peptida (PNA) juga telah dibangun, sehingga bidang teknologi ini disebut "nanoteknologi basis nukleotida".
Konsep dasar nanoteknologi berbasis DNA pertama kali diusulkan pada awal tahun 1980an oleh Nadrian Seaman, dan bidang penelitian ini mulai menarik minat luas pada pertengahan tahun 2000an. Para peneliti yang bekerja di bidang teknologi baru ini telah menciptakan struktur statis seperti kisi kristal dua dan tiga dimensi, tabung nano, polihedra, dan bentuk bebas lainnya, serta struktur fungsional seperti mesin molekuler dan komputer DNA.
Berbagai teknik digunakan untuk merakit struktur ini, termasuk penataan ubin, di mana ubin dirakit dari struktur yang lebih kecil, struktur lipat yang dibuat menggunakan teknik origami DNA, dan struktur yang disusun ulang secara dinamis dibuat menggunakan teknik perpindahan untai. Bidang penelitian mulai digunakan sebagai alat untuk memecahkan permasalahan ilmu dasar di bidang biologi struktural dan biofisika, termasuk permasalahan terapan kristalografi dan spektroskopi untuk penentuan struktur protein. Penelitian juga sedang dilakukan untuk aplikasi potensial dalam elektronik molekuler dan pengobatan nano.
Logaritma naturalLogaritma natural adalah logaritma ke basis e, Di mana e (\gaya tampilan e)- konstanta irasional sama dengan sekitar 2,72. Ini dilambangkan sebagai ln x (\displaystyle \ln x), catatan e x (\displaystyle \log _(e)x) atau terkadang hanya log x (\displaystyle \log x), jika pangkalan e (\gaya tampilan e) tersirat. Biasanya nomornya x (\gaya tampilan x) di bawah tanda logaritma adalah nyata, tetapi konsep ini dapat diperluas ke bilangan kompleks.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa ketergantungan logaritmik adalah fungsi kebalikan dari eksponensial y = e x (\gaya tampilan y=e^(x)), oleh karena itu grafiknya simetris terhadap garis bagi kuadran pertama dan ketiga (lihat gambar di sebelah kanan). Seperti halnya fungsi eksponensial, fungsi logaritma termasuk dalam kategori fungsi transendental.
Logaritma natural berguna untuk menyelesaikan persamaan aljabar yang bilangan tak diketahuinya hadir sebagai eksponen, dan sangat diperlukan dalam analisis matematis. Misalnya, logaritma digunakan untuk mencari konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui atau untuk mencari waktu peluruhan dalam menyelesaikan masalah radioaktivitas. Mereka memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika dan ilmu terapan, dan digunakan di bidang keuangan untuk memecahkan banyak masalah, termasuk menemukan bunga majemuk.
Dimensi LebesgueDimensi Lebesgue atau dimensi topologi- dimensi yang ditentukan oleh penutup, invarian ruang topologi yang paling penting. Dimensi ruang Lebesgue X (\gaya tampilan X) biasanya dilambangkan redup X (\displaystyle \redupkan X).
PengulanganRekursi adalah definisi, deskripsi, gambaran suatu objek atau proses dalam objek atau proses itu sendiri, yaitu situasi ketika suatu objek menjadi bagian dari dirinya sendiri. Istilah "rekursi" digunakan dalam berbagai bidang pengetahuan khusus - mulai dari linguistik hingga logika, namun paling banyak digunakan dalam matematika dan ilmu komputer.
Sierpinski, WaclawWacław Franciszek Sierpiński, dalam transkripsi lain - Sierpiński (Polandia: Wacław Franciszek Sierpiński; 14 Maret 1882, Warsawa - 21 Oktober 1969, ibid.) - Ahli matematika dan guru Polandia, yang terkenal karena karyanya tentang teori himpunan, aksioma pilihan, hipotesis kontinum, teori bilangan, teori fungsi, dan topologi. Penulis 724 artikel dan 50 buku.
Tetrahedron (Bottrop)Tetrahedron (Jerman: Tetraeder) adalah suatu struktur baja berbentuk tetrahedron dengan panjang tepi 60 m, ditopang oleh empat penyangga beton berukuran 9 meter, digunakan sebagai dek observasi, di kota Bottrop (Rhine-Westphalia Utara) . Tetrahedron ini terletak di atas tumpukan sampah Beckstraße (Jerman: Beckstraße) milik tambang Prosper-Haniel (de: Bergwerk Prosper-Haniel) pada ketinggian 105 m di atas permukaan laut. Dari dek observasi atas Anda dapat melihat pemandangan kota Bottrop, Essen, Oberhausen, Gladbeck. Dengan visibilitas yang baik, jangkauan pandang mencapai 40 km bahkan memungkinkan Anda membedakan menara televisi Rheinturm di Düsseldorf.
Bottrop Tetrahedron adalah titik tematik dari proyek regional "Jalur Budaya Industri" di wilayah Ruhr.
segitiga PascalSegitiga Pascal adalah tabel koefisien binomial tak hingga yang berbentuk segitiga. Pada segitiga ini ada yang di atas dan di samping. Setiap angka sama dengan jumlah dua angka di atasnya. Garis-garis segitiga simetris terhadap sumbu vertikal. Dinamakan setelah Blaise Pascal. Angka-angka yang membentuk segitiga Pascal muncul secara alami dalam aljabar, kombinatorik, teori probabilitas, analisis matematika, dan teori bilangan.
FraktalFraktal (lat. fractus - hancur, pecah, pecah) adalah himpunan yang mempunyai sifat kesamaan diri (suatu benda yang tepat atau kira-kira berhimpitan dengan bagian dirinya, yaitu keseluruhan mempunyai bentuk yang sama dengan satu atau lebih bagian). Dalam matematika, fraktal dipahami sebagai himpunan titik-titik dalam ruang Euclidean yang mempunyai dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik yang berbeda dengan dimensi topologi, sehingga harus dibedakan dengan bangun geometri lain yang dibatasi oleh sejumlah tautan terbatas. Angka-angka serupa yang berulang beberapa kali disebut prefraktal.
Contoh pertama himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa muncul pada abad ke-19 sebagai hasil studi fungsi kontinu yang tidak dapat dibedakan (misalnya, fungsi Bolzano, fungsi Weierstrass, himpunan Cantor). Istilah “fraktal” diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 dan dikenal luas dengan diterbitkannya bukunya “Fractal Geometry of Nature” pada tahun 1977. Fraktal mendapatkan popularitas khusus dengan perkembangan teknologi komputer, yang memungkinkan visualisasi struktur ini secara efektif.
Kata "fraktal" tidak hanya digunakan sebagai istilah matematika. Fraktal dapat disebut suatu objek yang memiliki setidaknya satu dari properti berikut:
Ia memiliki struktur yang tidak sepele di semua skala. Hal ini berbeda dengan bangun datar (seperti lingkaran, elips, grafik fungsi halus): jika kita melihat pecahan kecil bangun biasa dalam skala yang sangat besar, maka akan terlihat seperti pecahan garis lurus. Untuk fraktal, peningkatan skala tidak menyebabkan penyederhanaan struktur, yaitu pada semua skala Anda dapat melihat gambaran yang sama rumitnya.
Apakah mirip dengan diri sendiri atau kira-kira mirip dengan diri sendiri.
Ia mempunyai dimensi metrik pecahan atau dimensi metrik yang melebihi dimensi topologi.Banyak benda di alam yang mempunyai sifat fraktal, misalnya: pantai, awan, tajuk pohon, kepingan salju, sistem peredaran darah, alveoli.
Dimensi fraktalDimensi fraktal(Dimensi fraktal bahasa Inggris) - salah satu cara untuk menentukan dimensi suatu himpunan dalam ruang metrik. Dimensi fraktal N Himpunan -dimensi dapat didefinisikan dengan menggunakan rumus:
D = − lim ε → 0 ln (N ε) ln (ε) (\displaystyle D=-\lim \limits _(\varepsilon \ke 0)(\frac (\ln(N_(\varepsilon ))) (\ln(\varepsilon)))), Di mana N ε (\displaystyle N_(\varepsilon ))- jumlah minimal N-dimensi "bola" berjari-jari ε (\displaystyle \varepsilon), diperlukan untuk menutupi set.Dimensi fraktal dapat mengambil nilai numerik non-integer.
Ide dasar dimensi retak memiliki sejarah panjang dalam bidang matematika, namun istilah itulah yang diciptakan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1967 dalam artikelnya tentang kesamaan diri, di mana ia menjelaskan dimensi pecahan. Dalam artikel ini, Mandelbrot merujuk pada karya Lewis Fry Richardson sebelumnya yang menjelaskan gagasan berlawanan dengan intuisi bahwa panjang garis pantai yang diukur bergantung pada panjang tongkat pengukur (lihat Gambar 1). Mengikuti gagasan ini, dimensi fraktal suatu garis pantai berhubungan dengan rasio jumlah kutub (pada skala tertentu) yang diperlukan untuk mengukur panjang garis pantai dengan skala kutub yang dipilih. Ada beberapa definisi matematika formal [⇨] dari dimensi fraktal yang dibangun berdasarkan konsep dasar perubahan suatu elemen dengan perubahan skala.
Salah satu contoh dasar adalah dimensi fraktal kepingan salju Koch. Dimensi topologinya adalah 1, tetapi kurva ini sama sekali bukan kurva yang dapat diperbaiki, karena panjang kurva antara dua titik pada kepingan salju Koch adalah tak terhingga. Tidak ada bagian kurva, betapapun kecilnya, yang merupakan ruas garis lurus. Sebaliknya, kepingan salju Koch terdiri dari segmen-segmen dalam jumlah tak terbatas yang dihubungkan pada sudut berbeda. Dimensi fraktal suatu kurva dapat dijelaskan secara intuitif dengan menyatakan bahwa garis fraktal adalah suatu objek yang terlalu detail (detail) untuk menjadi satu dimensi, tetapi tidak cukup kompleks untuk menjadi dua dimensi. Oleh karena itu, dimensinya lebih baik dijelaskan bukan dengan dimensi topologi biasa 1, tetapi dengan dimensi fraktalnya, dalam hal ini sama dengan angka yang terletak pada interval antara 1 dan 2.
Seni fraktalSeni fraktal adalah bentuk seni algoritmik yang dibuat dengan menghitung objek fraktal dan menyajikan hasil perhitungannya dalam bentuk gambar diam, animasi, dan file media yang dihasilkan secara otomatis. Seni fraktal dimulai pada pertengahan tahun 1980an. Ini adalah genre seni komputer dan seni digital yang merupakan bagian dari seni media baru. Pada saat yang sama, seni fraktal adalah salah satu bidang yang disebut “seni ilmiah”.
Seni fraktal jarang dibuat dengan tangan. Biasanya dibuat secara tidak langsung oleh perangkat lunak yang menghasilkan fraktal melalui tiga langkah: mengatur parameter perangkat lunak fraktal yang sesuai; melakukan perhitungan yang mungkin memakan waktu lama; dan evaluasi produk. Dalam beberapa kasus, program grafis lain digunakan untuk memproses lebih lanjut gambar yang dihasilkan. Gambar non-fraktal juga dapat dimasukkan dalam sebuah karya seni. Set Julia dan Set Mandelbrot dianggap sebagai ikon seni fraktal.
| Karakteristik |
|
|
|---|---|---|
| Fraktal paling sederhana | ||
- Mari kita ambil segitiga biasa.
- Kami memotong sebuah segitiga darinya, yang simpul-simpulnya terletak di titik tengah sisi-sisi aslinya. Hasilnya, kita mendapatkan tiga segitiga pada bidang tersebut, yang luasnya masing-masing empat kali lebih kecil dari luas aslinya.
- Kami melakukan manipulasi sebelumnya dengan segitiga yang dihasilkan.
Prosesnya terlihat seperti ini:
- Menariknya, jika dalam segitiga Pascal semua bilangan ganjil diwarnai satu warna dan bilangan genap diwarnai dengan warna lain, maka terbentuklah segitiga Sierpinski.
Di sini koefisien binomial ditulis secara diagonal, pada baris pertama yang terisi dan kolom kesatuan yang terisi pertama, dan sisanya adalah jumlah elemen atas dan kiri.
Mari beralih ke konstruksi. Bagi kami, cukup menuliskan bukan koefisiennya, tetapi paritasnya saja.
Pertama, mari kita buat ukuran sel di Excel, misalnya 7 kali 7 piksel.
Mari kita berdiri di sel B2, lalu pilih area B2:DY129 - untuk melakukannya, tekan Ctrl + G dan tulis B2:DY129 di kolom tautan.
Sekarang di bilah rumus kita menulis =IF(OR(ROW()=2,COLUMN()=2),1,REM(A2+B1,2))
dan tekan Ctrl + Enter untuk mengisi seluruh area yang dipilih dengan rumus serupa.
Ayo pergi Menu - Pemformatan Bersyarat dan untuk nilai 1 kami menunjukkan warna sel.
Hasilnya kita mendapatkan:
Perlu dicatat bahwa segitiga Sierpinski diperoleh dengan semacam jalan acak di pesawat. Yaitu:
- Mari kita perbaiki 3 simpul segitiga pada bidang dan ambil titik lainnya.
- Kita memperoleh titik pertama sebagai titik tengah ruas antara secara tidak sengaja simpul dan titik yang dipilih dari langkah 1.
- Kami memperoleh titik kedua sebagai titik tengah segmen antara secara tidak sengaja simpul yang dipilih dan titik pertama.
- Kami mengulangi prosesnya berkali-kali.
Anda dapat menggunakan makro ini:
Sub Makro Publik()
Redupkan pengaturan(1 Sampai 3) Sebagai Rentang
Redupkan tekRow Sebagai Integer
Redupkan tekColumn Sebagai Integer
Redupkan saya Sebagai Integer
Redupkan itu Sebagai Integer
tekRow = Int(1000 * Rnd) + 1
tekColumn = Int(200 * Baris) + 1
Atur arRange(1) = Sel(1, 1)
Atur arRange(2) = Sel(50, 250)
Atur arRange(3) = Sel(200, 20)
Sel. Bersih
Untuk i = 1 Sampai 20.000
itu = (Int(1000 * Rnd) Mod 3) + 1
tekRow = Int((tekRow + arRange(iT).Row) / 2)
tekColumn = Int((tekColumn + arRange(iT).Column) / 2)
Sel(tekRow, tekColumn).Interior.ColorIndex = 5
Berikutnya
Akhiri Sub
Segitiga Sierpinski
Segitiga Sierpinski adalah salah satu fraktal yang paling terkenal; konstruksinya merupakan salah satu karya laboratorium pertama tentang rekursi dalam disiplin ilmu terkait di banyak universitas. Fraktalnya terlihat seperti ini:segitiga Pascal
Segitiga Pascal adalah tabel koefisien binomial tak hingga yang berbentuk segitiga. Pada segitiga ini ada yang di atas dan di samping. Setiap angka sama dengan jumlah dua angka di atasnya. Garis-garis segitiga simetris terhadap sumbu vertikal.
Terus?
Ada ciri menarik dalam segitiga Pascal. Ini menampilkan fraktal di atas dengan nomornya. Jika Anda mengintip ke dalam jurang dalam waktu yang lama, jurang tersebut mulai mengintip ke dalam makna Anda, maka Anda dapat melihat bahwa bilangan genap dan ganjil disusun dalam kelompok, karena ada satu aturan tak terucapkan yang diketahui semua orang: genap + ganjil = ganjil, genap + genap = genap, ganjil + ganjil = genap.Ya, lebih sedikit kata-kata, lebih banyak tindakan. Mari kita buat kesimpulannya sedikit lebih jelas. Orang yang tidak tertarik dengan implementasi perangkat lunak tidak akan tertarik pada paragraf berikutnya.
Saya mengambil algoritma lama untuk menghitung dan menyimpulkan segitiga Pascal dan mengubahnya sedemikian rupa sehingga alih-alih nilai angka, sisa pembagiannya dengan 2 ditampilkan. Oleh karena itu, bilangan genap kini menjadi nol, dan bilangan ganjil satu - satu. Saya lampirkan kode di bawah ini
#termasuk
Untuk lebih jelasnya, saya mendekorasi keluaran dengan cara berikut: keluaran program dialihkan ke file, dari mana, setelah eksekusi pertama selesai, mutiara, dengan regexpnya, menggantikan yang dengan huruf merah O, dan nol dengan yang biru. Kode skripnya ada di bawah ini:
#! perl -w buka (STREAM_IN, "1.txt");# || die "Tidak dapat membuka STREAM_IN\n"; open (STREAM_OUT, ">> 1.html");# || die "Tidak dapat membuka STREAM_OUT\n"; $ss="
"; sementara ($saat ini =
Dari sumbernya jelas kita akan melihat html. Mengapa? Untuk alasan kesederhanaan. Hanya pohon DOM yang ternyata salah. Mari kita perbaiki ini dengan skrip BASH dan otomatisasi semua yang dijelaskan di atas:
#!/bin/bash g++ ~/serp.cpp; ~/a.keluar > ~/1.txt; gema "
Jadi, kami mengkompilasi kode sumber pada kelebihannya, outputnya masuk ke kotak teks, bash "echoes" di html untuk ditimpa oleh awal pohon DOM, setelah itu kotak teks mengambil skrip mutiara, membuatnya kembali menjadi multi -versi html berwarna, melengkapi html, setelah itu jenis BASCH kembali menyelesaikan pembentukan pohon. Mari kita luncurkan dan lihat: 
Mari kita soroti dan bandingkan dengan aslinya 
LABA
FAKULTAS SIBERNETIKA
Kursus dalam ilmu material
"Fraktal"
Lengkap:
siswa gr. KS-71-10
Saltykov Egor
Lytenkova Daria
Diperiksa:
Smirnov Alexander Nikolaevich
1. Perkenalan.
2. Pengertian fraktal.
3. Dari sejarah kajian fraktal.
4. Klasifikasi fraktal.
5. Fraktal geometris.
6. Fraktal aljabar.
7. Fraktal stokastik.
8. Pohon fraktal.
9. Mengukur benda.
10. Dimensi pecahan.
11. Perhitungan dimensi secara praktis.
12. Mengapa fraktal relevan.
Perkenalan
Mata kuliah ini mengkaji permasalahan utama yang berkaitan dengan fraktal, seperti definisi fraktal, dimensinya, penerapannya, dan sejarah penemuannya.
Sebagai contoh, diberikan perhitungan dimensi fraktal air suling. Kalkulator dimensi digunakan dalam penghitungan, dan beberapa informasi umum tentang fraktal juga disediakan.
Fraktal adalah sosok yang memiliki kesamaan diri yang tak terhingga, yang setiap fragmennya berulang seiring dengan menurunnya skala. Cabang-cabang saluran trakea, neuron, sistem pembuluh darah manusia, lilitan tepi laut dan danau, kontur pepohonan - semuanya adalah fraktal. Fraktal ditemukan di tempat sekecil membran sel dan sebesar galaksi bintang. Kita dapat mengatakan bahwa fraktal adalah objek unik yang dihasilkan oleh pergerakan dunia yang kacau balau yang tidak dapat diprediksi!
Dari sejarah studi fraktal
Istilah "fraktal" diperkenalkan oleh B. Mandelbrot pada tahun 1975. Menurut Mandelbrot, fraktal(dari lat. " fraktus" - pecahan, pecah, pecah) adalah suatu struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang serupa dengan keseluruhan. Sifat kesamaan diri secara tajam membedakan fraktal dari objek geometri klasik. Istilah kesamaan diri berarti adanya struktur yang halus dan berulang, baik pada skala terkecil suatu objek maupun pada skala makro.
Sejarah fraktal dimulai dengan fraktal geometris, yang dipelajari oleh ahli matematika pada abad ke-19. Fraktal kelas ini paling visual, karena kemiripan diri langsung terlihat di dalamnya. Contoh fraktal tersebut adalah: kurva Koch, Levy, Minkowski, segitiga Sierpinski, spons Menger, pohon Pythagoras (Gbr. 1), dll. Dari sudut pandang matematika, fraktal, pertama-tama, adalah himpunan dengan dimensi pecahan (menengah, “bukan bilangan bulat”). Sementara garis Euclidean halus mengisi ruang satu dimensi, kurva fraktal melampaui batas ruang satu dimensi, melampaui batas ruang dua dimensi. Jadi, dimensi fraktal kurva Koch akan berada antara 1 dan 2. Hal ini, pertama-tama, berarti bahwa objek fraktal tidak mungkin mengukur panjangnya secara akurat!
Ada banyak klasifikasi fraktal. Merupakan kebiasaan untuk membedakan antara fraktal beraturan dan fraktal tidak beraturan, yang pertama adalah isapan jempol dari imajinasi (abstraksi matematis), mirip dengan kepingan salju Koch atau segitiga Sierpinski, dan yang terakhir adalah produk alam atau aktivitas manusia. Fraktal tidak beraturan (Gbr. 2), tidak seperti fraktal biasa, mempertahankan kemampuan untuk serupa dalam batas terbatas yang ditentukan oleh dimensi sebenarnya dari sistem.
Fraktal semakin banyak diterapkan dalam sains dan teknologi. Alasan utamanya adalah karena mereka menggambarkan dunia nyata terkadang lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Contoh objek fraktal di alam tidak ada habisnya - ini adalah awan, serpihan salju, gunung, kilatan petir, dan terakhir, kembang kol. Fraktal sebagai objek alami adalah gerakan terus menerus yang abadi, pembentukan dan perkembangan baru.
Selain itu, fraktal dapat diterapkan dalam jaringan komputer terdesentralisasi dan “antena fraktal”. Apa yang disebut “fraktal Brown” sangat menarik dan menjanjikan untuk memodelkan berbagai proses “acak” stokastik (non-deterministik). Dalam kasus nanoteknologi, fraktal juga memainkan peran penting, karena karena pengaturan mandiri hierarkisnya, banyak sistem nano memiliki dimensi non-integer, yaitu fraktal berdasarkan sifat geometris, fisikokimia, atau fungsionalnya. Misalnya, contoh mencolok dari sistem fraktal kimia adalah molekul “dendrimer” » . Selain itu, prinsip fraktalitas (kemiripan diri, struktur penskalaan) merupakan cerminan dari struktur hierarki sistem dan oleh karena itu lebih umum dan universal daripada pendekatan standar untuk menggambarkan struktur dan sifat sistem nano.
Klasifikasi fraktal
Fraktal aljabar
Mandelbrot siap
Julia siap
Kolam Newton (fraktal)
Biomorf
Segitiga Sierpinski
Fraktal geometris
Kurva Koch (kepingan salju Koch)
Kurva retribusi
Kurva Hilbert
Garis putus-putus naga (fraktal Harter-Haithway)
Set penyanyi
Segitiga Sierpinski
Karpet Sierpinski
Pohon Pythagoras
Fraktal melingkar
Fraktal stokastik
Fraktal buatan manusia
Fraktal alami
Fraktal deterministik
Fraktal non-deterministik
Fraktal geometris
Di sinilah sejarah fraktal dimulai. Fraktal jenis ini diperoleh melalui konstruksi geometris sederhana. Biasanya, ketika membangun fraktal ini, mereka melakukan ini: mereka mengambil "benih" - sebuah aksioma - sekumpulan segmen yang menjadi dasar pembuatan fraktal. Selanjutnya, seperangkat aturan diterapkan pada “benih” ini, yang mengubahnya menjadi semacam bentuk geometris. Selanjutnya, seperangkat aturan yang sama diterapkan lagi pada setiap bagian dari gambar ini. Dengan setiap langkah, angka tersebut akan menjadi semakin kompleks, dan jika kita melakukan (setidaknya dalam pikiran kita) transformasi dalam jumlah tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal geometris.
Kurva Peano yang dibahas di atas adalah fraktal geometris.
Contoh klasik fraktal geometris adalah Kepingan Salju Koch, Liszt, Segitiga Sierpinski).
Kepingan Salju Koch
Dari fraktal geometris ini, yang pertama, kepingan salju Koch, sangat menarik dan cukup terkenal. Itu dibangun berdasarkan segitiga sama sisi. Setiap baris yang ___ diganti dengan 4 baris yang masing-masing 1/3 panjang _/\_ aslinya. Jadi, dengan setiap iterasi, panjang kurva bertambah sepertiga. Dan jika kita melakukan iterasi dalam jumlah tak terbatas, kita akan mendapatkan fraktal - kepingan salju Koch dengan panjang tak terbatas. Ternyata kurva tak hingga kita mencakup area terbatas. Cobalah melakukan hal yang sama dengan menggunakan metode dan gambar dari geometri Euclidean. Apa yang disebut Sistem-L sangat cocok untuk membangun fraktal geometris. Inti dari sistem ini adalah adanya sekumpulan simbol sistem tertentu, yang masing-masing menunjukkan tindakan tertentu dan seperangkat aturan konversi simbol.
Segitiga Sierpinski
Sifat fraktal yang kedua adalah kesamaan diri. Ambil contoh segitiga Sierpinski. Untuk membangunnya, dari pusat segitiga, secara mental kita memotong sepotong bentuk segitiga, yang dengan simpul-simpulnya akan bertumpu pada bagian tengah sisi-sisi segitiga aslinya. Mari ulangi prosedur yang sama untuk ketiga segitiga yang terbentuk (kecuali segitiga tengah) dan seterusnya ad infinitum. Jika sekarang kita mengambil salah satu segitiga yang dihasilkan dan memperbesarnya, kita akan mendapatkan salinan keseluruhannya. Dalam hal ini kita berhadapan dengan kesamaan diri yang utuh.
Garis putus-putus Draco
Garis putus-putus Draconian termasuk dalam kelas struktur geometris serupa yang dihasilkan secara rekursif. Polyline orde nol hanyalah sudut siku-siku. Bayangan suatu bangun tiap orde berikutnya dibuat dengan cara mengganti secara rekursif masing-masing ruas bangun orde bawah dengan dua ruas yang juga dilipat membentuk sudut siku-siku.
Dalam hal ini, setiap sudut pertama "diputar" ke luar, dan setiap sudut kedua diputar ke dalam. Terlepas dari kesederhanaannya, membuat polyline naga adalah masalah algoritmik yang menarik, yang solusinya mungkin memerlukan upaya mental dari Anda. Gambar tersebut mengilustrasikan algoritme untuk membuat polyline naga dan menggambarkan “naga” dewasa dari orde kesepuluh.
Fraktal aljabar
Kelompok besar fraktal kedua adalah aljabar. Mereka mendapatkan namanya karena dibuat berdasarkan rumus aljabar, terkadang rumus yang sangat sederhana. Ada beberapa metode untuk memperoleh fraktal aljabar. Salah satu caranya adalah dengan menghitung fungsi Zn+1=f(Zn) secara berulang (iteratif), dimana Z adalah bilangan kompleks, dan f adalah fungsi tertentu. Perhitungan fungsi ini berlanjut hingga kondisi tertentu terpenuhi. Dan jika kondisi ini terpenuhi, sebuah titik akan ditampilkan di layar. Dalam hal ini, nilai fungsi untuk titik berbeda pada bidang kompleks dapat memiliki perilaku berbeda:
Lama kelamaan cenderung tak terhingga.
Cenderung 0
Menerima beberapa nilai tetap dan tidak melampauinya.
Perilakunya kacau, tanpa tren apa pun.
Untuk mengilustrasikan fraktal aljabar, mari kita beralih ke klasik - himpunan Mandelbrot.
Untuk membangunnya, kita membutuhkan bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian - real dan imajiner, dan dilambangkan dengan a+bi. Bagian real a adalah bilangan biasa dalam representasi kita, tetapi bagian imajiner bi lebih menarik. saya disebut unit imajiner. Mengapa khayalan? Tetapi karena jika kita mengkuadratkan i, kita mendapatkan -1.
Bilangan kompleks dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dibagi, dipangkatkan, dan di-root, tetapi bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dibandingkan. Suatu bilangan kompleks dapat digambarkan sebagai sebuah titik pada suatu bidang yang koordinat X-nya adalah bagian nyata a, dan Y adalah koefisien bagian imajiner b.
Pada gambar set Mandelbrot, saya mengambil area kecil dan memperbesarnya hingga seukuran seluruh layar (seperti mikroskop). Apa yang kita lihat? Manifestasi kesamaan diri. Bukan kesamaan diri yang persis, tapi dekat, dan kita akan menemukannya terus-menerus, semakin meningkatkan bagian fraktal kita. Berapa lama kita bisa meningkatkan jumlah kita? Jadi, jika kita meningkatkannya hingga batas daya komputasi komputer, kita akan mencakup area yang sama dengan luas tata surya hingga Saturnus.
Fraktal stokastik
Perwakilan khas dari kelas fraktal ini adalah “Plasma”. Untuk membuatnya, mari kita ambil sebuah persegi panjang dan tentukan warna untuk setiap sudutnya. Selanjutnya, kita mencari titik pusat persegi panjang dan mengecatnya dengan warna yang sama dengan rata-rata aritmatika warna di sudut-sudut persegi panjang ditambah beberapa bilangan acak. Semakin besar angka acaknya, gambarnya akan semakin “tidak rapi”. Jika sekarang kita mengatakan bahwa warna suatu titik adalah ketinggian di atas permukaan laut, kita akan mendapatkan pegunungan, bukan plasma. Berdasarkan prinsip inilah pegunungan dimodelkan di sebagian besar program. Menggunakan algoritma yang mirip dengan plasma, peta ketinggian dibuat, berbagai filter diterapkan padanya, tekstur diterapkan, dan pegunungan fotorealistik siap.
Pohon fraktal
Banyak kesalahpahaman yang dikaitkan dengan sifat fraktal pohon. Objek pohon sangat mirip dengan fraktal: dibuat secara iteratif, terlihat fraktal, dan terkadang bahkan berupa fraktal. Namun, dalam banyak kasus, kesamaan ini hanya bersifat eksternal.
Pohon klasik
Mari kita lihat pohon yang khas.
Mungkinkah menemukan dimensi kemiripannya, seperti yang kita lakukan pada catatan tentang dimensi pecahan? Terlihat bahwa keseluruhan pohon mirip dengan bagian-bagiannya.
Namun, tidak seluruh pohon dapat terdiri dari bagian-bagian yang serupa. Tiap cabang memang seperti pohon (ditandai dengan warna merah dan hijau), namun ada dua ruas lagi yang tidak sesuai dengan diagram keseluruhan (hitam). Jadi, pohon yang disajikan di sini bukanlah benda yang serupa dirinya dan tidak mungkin mencari dimensinya menggunakan rumus yang diperoleh sebelumnya.
Namun, sangatlah mudah untuk membuat pohon yang benar-benar mirip.
Pohon yang mirip diri
Untuk membuat pohon kita memiliki kesamaan diri, kita hanya perlu mengganti bagian yang melanggar kesamaan diri dengan pohon. Misalnya seperti ini:
Di sini Anda dapat melihat bahwa pohon besar seluruhnya terdiri dari kemiripan-kemiripan kecilnya. Dua subpohon memiliki koefisien kesamaan 0,55 (merah dan hijau), dan delapan pohon yang membentuk “cabang” memiliki koefisien kesamaan 0,08 (delapan pohon berwarna hitam).
Dimensi pohon ini mudah dihitung dan kira-kira 1,3788.
Anda bisa membuat dahannya lebih tipis. Mari gandakan jumlah subpohon di "cabang" dan kurangi separuh ukurannya:
Dimensi fraktal ini adalah 1,3455.
Jika kita menggandakan jumlah salinan kecil pohon di “cabang” dan sekali lagi mengurangi separuh ukuran salinan ini, kita akan mendapatkan cabang yang lebih tipis:
Dimensi fraktal tersebut sudah 1,3200.
Pohon yang berakar sendiri
Sebenarnya, suatu fraktal tidak harus benar-benar serupa. Fragmennya dapat diperoleh tidak hanya dengan transformasi kesamaan, tetapi juga dengan transformasi affine apa pun.
Dengan menggunakan transformasi affine, Anda dapat membuat "cabang" menjadi lebih tipis hanya dengan mengubah bentuk bagian penyusunnya pada pohon.
Saya akan menulis tentang bagaimana dimensi objek self-affine dihitung di waktu luang saya, tetapi di sini saya hanya akan mengatakan bahwa dimensi fraktal ini adalah 1,7251.
Berapa ukuran pohon biasa?
Menghitung ukuran pohon bergantung pada cara Anda membangunnya.
Misalnya, Anda dapat menganggap bahwa ini adalah fraktal afinitas diri, di mana fraktal cabang telah merosot menjadi segmen-segmen. Di sini perlu Anda pahami bahwa cabang dalam hal ini bukan sekadar ruas. Pada setiap titik terdapat tumpang tindih titik-titik yang jumlahnya tak terhingga milik cabang-cabang fraktal berbeda yang diratakan menjadi sebuah segmen. Artinya, dengan konstruksi ini, pohon tidak terdiri dari segmen-segmen, tetapi dibangun dari komponen-komponen yang jauh lebih “berat”. Untuk pohon dengan proporsi yang dipertimbangkan, dimensinya adalah 1,1594.
Tetapi jika Anda membuat pohon dengan jujur - dari segmen-segmen, maka dimensinya akan menjadi 1. Selain itu, jika jumlah koefisien kemiripannya kurang dari satu, maka Anda dapat dengan mudah menghitung panjang semua cabang (menggunakan rumus jumlah suatu barisan geometri). Artinya, pohon tidak hanya menjadi garis satu dimensi, tetapi juga memiliki panjang berhingga.
Mengukur badan
Pertama, pengenalan singkat untuk menyusun gagasan kita sehari-hari tentang pengukuran benda. Tanpa berusaha keras untuk mendapatkan formulasi yang presisi secara matematis, mari kita cari tahu apa itu ukuran, ukuran, dan dimensi. Besar kecilnya suatu benda dapat diukur dengan penggaris. Dalam kebanyakan kasus, ukurannya tidak informatif. Tumpukan sereal manakah yang lebih besar?
Jika kita membandingkan tinggi, maka yang merah lebih besar, jika lebarnya hijau.
Perbandingan ukuran dapat menjadi informatif jika item serupa satu sama lain:
Sekarang, apa pun dimensi yang kita bandingkan: lebar, tinggi, sisi, keliling, jari-jari lingkaran yang tertulis, atau lainnya, tumpukan hijau akan selalu lebih besar.
Ukuran
Takaran juga berfungsi untuk mengukur suatu benda, namun tidak diukur dengan penggaris. Kita akan membahas bagaimana tepatnya pengukurannya nanti, tetapi untuk saat ini mari kita perhatikan properti utamanya - pengukurannya bersifat aditif.
Dinyatakan dalam bahasa sehari-hari, jika dua benda menyatu, maka besaran jumlah kedua benda tersebut sama dengan jumlah besaran benda aslinya.
Untuk benda satu dimensi, besarnya sebanding dengan besarnya. Jika Anda mengambil ruas-ruas yang panjangnya 1cm dan 3cm dan “menjumlahkannya”, maka ruas “total” tersebut akan memiliki panjang 4cm (1+3).
Untuk benda non-satu dimensi, ukuran dihitung menurut aturan tertentu, yang dipilih agar ukuran tersebut mempertahankan aditif. Misal kita ambil persegi yang panjang sisinya 3 cm dan 4 cm lalu “dilipat”, maka luasnya akan dijumlahkan (9 + 16 = 25), artinya sisi (ukuran) hasilnya adalah 5 cm. .
Baik suku maupun jumlahnya adalah persegi, artinya keduanya serupa satu sama lain dan kita dapat membandingkan ukurannya. Ternyata besar kecilnya penjumlahan tidak sama dengan jumlah besarnya.
Bagaimana hubungan ukuran dan ukuran?
Dimensi
Justru dimensilah yang memungkinkan kita menghubungkan ukuran dan ukuran.
Mari kita nyatakan dimensi - D, ukur - M, ukuran - L. Maka rumus yang menghubungkan ketiga besaran tersebut akan terlihat seperti:
Bagi orang awam, rumus ini memiliki bentuk yang familiar. Untuk benda dua dimensi (D=2) ukuran (M) adalah luas (S), untuk benda tiga dimensi (D=3) - volume (V):
Pembaca yang penuh perhatian akan bertanya, dengan hak apa kita menulis tanda sama dengan? Baiklah, luas persegi sama dengan kuadrat sisinya, tapi bagaimana dengan luas lingkaran? Apakah rumus ini berlaku untuk objek apa pun?
Iya dan tidak. Anda dapat mengganti persamaan dengan proporsionalitas dan memasukkan koefisien, atau Anda dapat berasumsi bahwa kita memasukkan ukuran benda dengan tepat agar rumusnya berfungsi. Misalnya, untuk sebuah lingkaran kita akan menyebut ukuran panjang busur sama dengan akar radian “pi”. Mengapa tidak?
Bagaimanapun, ada atau tidaknya koefisien tidak akan mengubah esensi penalaran selanjutnya. Untuk mempermudah, saya tidak akan memperkenalkan koefisien; jika mau, Anda dapat menambahkannya sendiri, ulangi semua alasannya dan pastikan (alasannya) tidak kehilangan validitasnya.
Dari semua yang telah dikatakan, kita dapat menarik satu kesimpulan: jika angka tersebut dikurangi sebanyak N kali (diskalakan), maka angka tersebut akan sesuai dengan waktu ND aslinya. Memang benar, jika Anda mengurangi segmen (D=1) sebanyak 5 kali, maka segmen tersebut akan muat tepat di segmen aslinya sebanyak lima kali (51=5); Jika segitiga (D = 2) dikurangi 3 kali, maka segitiga tersebut akan masuk ke dalam segitiga semula sebanyak 9 kali (3 2 = 9).
Jika kubus (D = 3) diperkecil 2 kali, maka kubus tersebut muat menjadi kubus semula sebanyak 8 kali (2 3 = 8).
Hal sebaliknya juga terjadi: jika, ketika ukuran suatu bangun diperkecil sebanyak N kali, ternyata sesuai dengan aslinya sebanyak n kali (yaitu, ukurannya berkurang sebanyak n kali), maka dimensinya dapat dihitung menggunakan rumusnya:
Tidak terlalu ketat dan menghilangkan banyak detail penting, kami tetap mendapat rumus dimensinya.
Dimensi pecahan
Contoh paling sederhana
Dimensi pecahan biasanya dibicarakan dengan menggunakan contoh berbagai garis putus-putus. Mari kita beralih ke bintang Koch.
Tata cara pembuatannya ditunjukkan pada gambar (dari bawah ke atas):
Konstruksi ini diulangi berkali-kali dan pada akhirnya kita mendapatkan garis putus-putus yang terdiri dari segmen yang jumlahnya tak terhingga. Tidak peduli seberapa besar kita menskalakannya, kita akan tetap mendapatkan hal yang sama.
Ini adalah bintang Koch.
Sebenarnya, kumpulan titik yang dihasilkan tidak bisa lagi disebut garis putus-putus. Menurut definisi, polyline harus terdiri dari sejumlah segmen yang terbatas. Namun saya akan menggunakan kata “garis putus-putus” dalam arti “tidak ketat”.
Sekarang mari gunakan teknik kita untuk menentukan dimensinya.
Dari konstruksi dan gambarnya jelas bahwa bintang dapat dibagi menjadi empat bagian yang sama besar, dan ukuran (misalnya, panjang segmen aslinya) setiap bagian akan sama dengan sepertiga ukuran gambar aslinya. Artinya, jika dikurangi tiga kali, ia akan muat di dalam dirinya sendiri sebanyak empat kali:
Dengan analogi dengan alasan kami sebelumnya, kami menemukan bahwa dimensinya sama dengan
D = ln(4)/ln(3) ≈ 1,26185950714291487419
Artinya, bukan lagi sekedar ruas atau garis putus-putus (panjang bintang Koch tak terhingga), tetapi juga bukan bangun datar yang menutupi seluruh luas wilayah tertentu.
Jika kita sedikit memodifikasi algoritme konstruksi dan mengekstrak bukan 1/3 segmen, tetapi 1/9, maka garis putus-putus akan lebih padat:
Apa dimensinya? Sekarang angka tersebut akan masuk ke dalam dirinya sendiri sebanyak empat kali setelah dikurangi 9/4 kali, yaitu dimensi dapat dihitung menggunakan rumus yang sama:
D = ln(4)/ln(9/4) ≈ 1,70951129135145477696
Seperti yang Anda lihat, “kepadatan” lapisan segera mempengaruhi dimensi.
Sekarang mari kita dapatkan rumus yang lebih umum untuk menghitung dimensi. Untuk melakukan ini, mari kita lihat contohnya lagi:
Iterasi kembali dimulai dari satu segmen. Pada setiap langkah iterasi, jumlah segmen menjadi dua kali lipat. Masing-masing menghasilkan dua yang baru: yang satu 0,88 kali lebih kecil (atau lebih tepatnya lebih besar) dari induknya, yang kedua 0,41 kali lebih kecil. Pada limitnya diperoleh himpunan berikut:
Mari kita kembali ke langkah iterasi pertama, di mana kita mendapatkan dua segmen, dan melihat bagian fraktal mana yang terbentuk dari masing-masing segmen.
Jika kita asumsikan ukuran fraktal penuh adalah 1, maka ukuran bagian hijau (diperoleh dari segmen yang lebih besar) adalah 0,88, dan ukuran bagian merah (diperoleh dari segmen lebih kecil) adalah 0,41.
Rumus yang kita punya sudah tidak cocok lagi, karena kita tidak punya satu, tapi dua faktor penskalaan. Tapi kita bisa menggunakan pengetahuan kita tentang sifat-sifat ukuran, ukuran dan dimensi. Ukurannya, seperti yang kita ingat, bersifat aditif, yaitu ukuran suatu fraktal lengkap sama dengan jumlah ukuran bagian-bagiannya:
Baik fraktal itu sendiri maupun bagian-bagiannya mempunyai dimensi yang sama (D) dan kita dapat menyatakan ukuran melalui dimensi:
Dan kita tahu ukurannya. Artinya, untuk dimensi fraktal kita dapat menulis persamaannya:
1D = 0,88D + 0,41D
atau sederhananya
1 = 0,88D + 0,41D
Tidak mungkin menyelesaikan persamaan ini secara analitis, namun jawaban “perkiraan” dapat “disesuaikan”. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan kalkulator dimensi online saya. Dalam kasus kami
D ≈ 1.7835828288192
Anda dapat memeriksanya.
Jadi, jika suatu fraktal terbentuk dari N unsur sejenis, dengan koefisien kemiripan k1, k2 ... kN, maka dimensinya dapat dicari dari persamaan:
1 = k1D + k2D + ... + kND
Harap dicatat bahwa jika semua koefisien sama, maka rumus kami berubah menjadi rumus sederhana yang sudah diketahui:
1 = kD + kD + ... + kD = N * kD
D = ln(1/N)/ln(k)
D = ln(N)/ln(1/k)
Ekspresi terakhir adalah rumus sederhana pertama kita untuk menghitung dimensi.
Perhitungan praktis dimensi suatu zat menggunakan contoh penghitungan dimensi air suling.
Kami memiliki representasi grafis dari permukaan air:
Kami membagi gambar ini menjadi beberapa bagian yang serupa. Dalam hal ini, lebih mudah dan relevan untuk membagi gambar menjadi kotak:
Dan kotak terakhir, yang asli, telah kami berikan di atas.
Gantikan dimensi ke dalam kalkulator dimensi:
Dimensi air adalah D=1.643594371.
Mengapa fraktal relevan
Kebanyakan sistem di alam menggabungkan dua sifat:
pertama, mereka sangat besar, seringkali memiliki banyak segi, beragam dan kompleks,
dan kedua, mereka terbentuk di bawah pengaruh sejumlah kecil pola sederhana, dan berkembang lebih lanjut, dengan mematuhi pola sederhana tersebut.
Sistemnya bermacam-macam, mulai dari kristal dan gugus sederhana (berbagai jenis gugus, seperti awan, sungai, gunung, benua, bintang), diakhiri dengan ekosistem dan objek biologis (dari daun pakis hingga otak manusia).
Fraktal hanyalah objek seperti itu: di satu sisi, kompleks (mengandung banyak elemen tak terhingga), di sisi lain, dibangun menurut hukum yang sangat sederhana. Berkat sifat ini, fraktal memiliki banyak kesamaan dengan banyak objek alam. Tetapi fraktal lebih baik dibandingkan dengan objek alami karena fraktal mempunyai definisi matematis yang ketat dan dapat dideskripsikan dan dianalisis secara ketat.
Oleh karena itu, teori fraktal memungkinkan untuk memprediksi laju pertumbuhan sistem perakaran tanaman, biaya tenaga kerja untuk mengeringkan rawa, ketergantungan massa jerami pada tinggi pucuk, dan masih banyak lagi.
Contoh penggunaan fraktal
Dua awan sedang terbang. Yang pertama menghasilkan bayangan area A, yang kedua - B. Awan ini bergabung menjadi satu. Berapakah luas C dari bayangan awan baru tersebut?
Setelah menjawab pertanyaan ini, kita sudah dapat menarik kesimpulan tentang berapa total tutupan awan.
Apakah awan itu dua dimensi?
Jika awan memiliki dimensi 2 (yaitu datar), maka awan tersebut akan menyatu dan jawabannya hanyalah penjumlahan
Artinya, dua awan terlipat menjadi dua seperti dua lembar kertas dinding.
Tapi ini tidak benar. Total cloud tidak hanya akan menjadi lebih luas dan lebih panjang dari jangka waktunya, namun juga akan menjadi lebih tinggi. Dengan massa yang sama, luasnya akan lebih kecil dari luas totalnya.
Apakah awan itu berbentuk tiga dimensi?
Jika dimensi awan adalah 3 (yaitu awan monolitik dan tanpa rongga), maka jawabannya adalah
C 3/2 = SEBUAH 3/2 + B 3/2
C = (A 3/2 + B 3/2)2/3
Jika keabsahan ungkapan ini membuat Anda ragu, maka saya ajukan argumentasi berikut (saya tidak ingin memberikan bukti pasti di sini). Misalkan awan berbentuk kubus. (Kubus adalah benda monolitik dan tiga dimensi; dengan keberhasilan yang sama seseorang dapat mengambil bola, piramida, atau benda lainnya.) Misalkan kubus awan pertama memiliki sisi meter, dan kubus kedua - b meter. Jika awan dijumlahkan, maka awan kubus totalnya akan mempunyai sisi c meter dan volume yang sama dengan jumlah volume awan aslinya:
Mari kita asumsikan bahwa luas bayangan kubus sama dengan luas sisi-sisinya (ini tidak membatasi keumuman penalaran). Kemudian untuk area kita mempunyai ekspresi berikut:
Hasilnya, kita mendapatkan ekspresi tersebut
C 3/2 = SEBUAH 3/2 + B 3/2
Namun jawaban ini juga tidak benar, karena awan tidak bersifat monolitik.
Dimensi awan
Ternyata dimensi awan bukan bilangan bulat - 2.3. Rumus yang benar adalah:
C 2.3/2 = SEBUAH 2.3/2 + B 2.3/2
Seperti yang Anda lihat, kami memiliki teori yang mendeskripsikan objek berdimensi non-integer dan objek itu sendiri ada, dan kami telah berhasil menerapkan teori tersebut pada objek tersebut.
Tentu saja rumus ini saja tidak cukup untuk memprediksi cuaca. Pada kenyataannya, awan tidak hanya menyatu dan terpisah, mereka muncul dan menghilang, tumbuh dan menyusut, mengubah strukturnya... Rumus kami hanya menjelaskan satu dari komponen dari semua kemungkinan transformasi. Tapi dia menjelaskan komponen ini dengan benar.