В статье рассказывается о том, что такое парадокс, приводятся их примеры и рассматриваются наиболее частые их разновидности.
Парадокс
С развитием науки в ней появились такие направления, как, к примеру, логика и философия. Относятся они к ряду гуманитарных, и на первый взгляд может показаться, что в отличие от дисциплин, которые изучают окружающий нас мир (биология, физика, химия), они не столь значимы. Однако это не так. Правда, у людей наиболее часто эти дисциплины ассоциируются с парадоксами различного рода, что отчасти верно. Но справедливости ради стоит упомянуть, что парадоксы как таковые встречаются и в иных областях науки. Так что такое парадокс и каким он может быть? В этом мы и разберемся.
Определение
Само слово «парадокс» произошло из древнегреческого языка. Что вполне логично, ведь именно времена Римской империи и Древней Греции считаются рассветом таких наук, как логика и философия, которые занимаются разбором парадоксов наиболее часто. Так что такое парадокс?
Понятие имеет несколько похожих определений. К примеру, в повседневном понимании парадокс - это ситуация, которая может существовать в реальности, но при этом совсем не иметь логического объяснения, или же суть его сильно затруднена для восприятия и размыта.
Если рассматривать значение данного слова в логике, то это формально-логическое противоречие, которое становится таковым в силу каких-то особых или необычных условий. Теперь мы знаем, что такое логические парадоксы.
Суть
Если рассматривать это понятие в широком смысле, то обычно под ним понимают суждения, высказывания и иные ситуации, которые сильно расходятся с привычным мнением и кажутся объективно или субъективно очень нелогичными. Правда, логика постепенно появляется, если начать разбирать предмет обсуждения более подробно. Но при этом важно помнить - в отличие от афоризма, парадокс поражает именно неожиданностью и четкой логической составляющей.
Но рассмотрим более подробно парадоксы в логике.
Логика
Если говорить кратко, то логический парадокс - это своеобразное противоречие, которое имеет форму конкретного, четкого и логически правильного вывода, но при этом оно представляет собой рассуждение, которое приводит к образованию двух или более заключений, исключающих друг друга. Так что теперь мы знаем, что такое парадокс.
Существуют также несколько разновидностей логических парадоксов - апория и антиномия.
Последняя характеризуется наличием двух суждений, которые противоречат друг другу, но при этом оба они одинаково доказуемы.
Апория же выражается наличием аргумента или нескольких аргументов, которые сильно противоречат здравому смыслу, привычному мнению общественности или чему-то еще очевидному. И аргументы эти являются четкими и доказуемыми.
Наука
В науках, которые используют логику в качестве одного из инструментов познания, порой происходят ситуации, когда исследователи наталкиваются на противоречия теоретического рода или же противоречия, которые появились из следствия теории с вербальным, практическим результатом того или иного опыта. Правда, подобное не всегда является парадоксом в чистом виде, иногда такое происходит в результате обычных ошибок, несовершенства нынешних знаний, методов их получения или неточности инструментов.
Тем не менее наличие парадокса всегда являлось дополнительным стимулом того, чтобы более детально разобраться в кажущейся очевидной теории и некоторых ее якобы очевидных доказательствах. Иногда это приводило к тому, что даже устоявшиеся и четкие теории подвергались полному пересмотрению. Теперь мы знаем суть такой вещи, как парадокс. Примеры некоторые рассмотрим чуть ниже.
Фотометрический парадокс
Он относится к разряду космологических. Смысл его заключается в вопросе о том, почему ночью темно, если все бесконечное космическое пространство наполнено излучающими свет звездами? Если это так, то тогда в каждой точке ночного неба обязательно будет какое-то далекое светило, и оно будет точно не черным.
Правда, данный парадокс со временем был решен. Для этого нужно учесть конечный и конечность скорости света, а значит, часть Вселенной, что доступна для просмотра, обязательно будет ограничена так называемым горизонтом частиц.
В логике и философии
Подобные парадоксы жизни встречались многим людям, как в повседневных размышлениях, так и в различных книгах и учебниках. К примеру, одним из наиболее популярных является парадокс Бога. Ведь если допускать, что он всемогущ, то способен ли он создать камень, который сам же и не сможет сдвинуть с места?
Второй, тоже встречающийся очень часто, основан на философии. Смысл его в том, что люди почти никогда не ценят то, что имеют, а ценить начинают лишь после потери.
Как видим, парадоксы - это очень многогранные явления, которые есть в различных областях науки и жизни.
, утверждение , суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения [ ] . Следует различать парадокс и апорию . Апория , в отличие от парадокса , является вымышленной, логически верной, ситуацией (высказыванием , утверждением , суждением или выводом), которая не может существовать в реальности. [ ]
В самом широком смысле под парадоксом понимают высказывание, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным (зачастую лишь при поверхностном понимании). Парадокс, в отличие от афоризма , поражает неожиданностью. Например, уайльдовский «Разводы совершаются на небесах». Парадокс - это всегда полуправда и это, как говорил Оскар Уайльд , «лучшее, чего мы можем достичь, потому что абсолютных правд не существует». Парадокс своей стилизованной формой напоминает афоризм. В парадоксе привычная истина рушится на глазах и даже высмеивается. Например: «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы - прекрасный человек!» (О. Уайльд), «Взаимное непонимание - самая подходящая основа для брака» (О. Уайльд).
Парадоксальность - неожиданность, непривычность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме. Антонимом парадоксальности является ортодоксальность - проверенность, традиционность. «Ортодоксальный » - буквально «следующий господствующей традиции ».
Парадоксы в логике
Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия .
- Апория характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу .
- Антиномия - наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений.
Парадоксы в науке
Наличие парадокса стимулирует к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, её «очевидных» постулатов и нередко приводит к полному её пересмотру.
Примерами парадоксов в науке могут служить Парадокс Рассела , Парадокс Банаха - Тарского , Парадокс Смейла , Парадокс Хаусдорфа , ЭПР-парадокс , Космологические парадоксы .
Парадоксы в искусстве
Парадокс как художественный приём
Парадоксальность - чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства . В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре . Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации. Популярная детская «поэзия нелепостей» Льюиса Кэрролла и Корнея Чуковского также построена на этом художественном приёме.
Парадокс в музыке
См. также
Примечания
Литература
- Большая советская энциклопедия в 30 томах
- Большой энциклопедический словарь «Математика»
- Анисов А. М. Логика. Парадоксы. Наука. // Противоположности и парадоксы (методологический анализ). - М.: Канон+; РООИ «Реабилитация», 2008. - С. 156-188. - ISBN 978-5-88373-116-6
- Грязнов А. Ф. «Скептический парадокс» и пути его преодоления. // Вопросы философии . 1989. № 12. - С. 140-150.
- Драгалина-Чёрная Е. Г. Путь к очевидности: парадокс и докса. // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) - С. 234-242.
- Казаков А. Н., Якушев А. О. Логика-I. Парадоксология. - Ижевск: Изд-во Удмуртского университета , 1998. - 320 с. - // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
- Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / пер. с англ. В. В. Ульянова под ред. В. В. Сазонова. - М., 1990. - 240 с., ил.
- Смирнова Е. Д. К вопросу об анализе семантических парадоксов // Вестник МГУ . Сер. 8. Философия. 1993. № 5. - С. 37-43.
- Ханагов А. А. Существуют ли в формальной логике парадоксы? // Природа. 1978. № 10. С. 118-124.
- Хлебалин А. В. Проблема основания и условия решения парадокса Крипке. // Философия: история и современность. 2004-2005. Сб. науч. тр. - Новосибирск; Омск, 2005. - С. 3-13.
- Черепанов С. К. Основания и парадоксы: новый подход к решению проблемы логического обоснования математики. - Красноярск, 1995.
- Чупахин И. Я. Теория понятия и парадоксы // Вестник Ленинградского университета . // Серия Экономика, философия, право. 1975. № 5. Вып. 1. - С. 55-63.
- Шалак В. И. Против апорий // Противоположности и парадоксы (методологический анализ). - С. 189-204.
- Butzenberger Klaus. Some general remarks on negation and paradox in Chinese logic // Journal of Chinese Philosophy 20: 313-347 (1993).
- Chung-Ying Cheng. On Zen (Ch’an) Language and Zen Paradoxes // Journal of Chinese Philosophy. V. 1 (1973). P. 77-102.
- Chen Bo (2014). Six Groups of Paradoxes in Ancient China From the Perspective of Comparative Philosophy. // Asian Philosophy 24 (4):363-392.
Когда-то Сократ сказал: «Я знаю, что ничего не знаю». Этим он дал понять своим ученикам, что любые знания и представления о мире и Вселенной стоит ставить под сомнение, пока они не будут подтверждены.
Мы сделали для вас подборку из 15 парадоксов (хотя на самом деле их очень много), которые изменят ваше представление о жизни.
Парадокс пути
Чтобы куда-то дойти, следует прошагать вначале половину пути, но сначала половину половины, а перед ней половину от этой половины и так бесконечно, значит, движение и не начиналось.
Благодаря этому утверждению Зенона Элейского появился один из парадоксов, который впоследствии привел ученых к выводу, что во взаимосвязи пространства и времени есть логические сложности. Так появилось понятие дихотомии.
Лишь в XIX веке была предложена математическая концепция данного утверждения, которая выглядела в виде следующей цепочки последовательностей: 0,5 + 1,2 + 1,8 + 1,16 - и так до бесконечности, которые все равно равны единице пути.
Парадокс стрелы
Не менее интересен вывод, сделанный Зеноном при виде летящей стрелы. Так как время состоит из моментов, равных 0 секунд, значит, и у летящей стрелы движение в каждый момент нулевое. Раз не было движения в один из моментов, значит, оно и не начиналось.
Сегодня подобные размышления древнего философа отнесли бы к современному восприятию квантовой механики. Например, в книге Кевина Брауна «Размышления об относительности» говорится, что, согласно этой теории, движущийся и статичный объекты всегда отличаются. Отличия касаются и их наблюдателей. В данном случае все участники опыта разнятся не только своими свойствами, но и восприятием окружающего мира.
Парадокс корабля Тесея
Не менее интересен парадокс, связанный с легендарным победителем Минотавра. Корабль, на котором Тесей вернул юношей и девушек домой с Крита, стал достопримечательностью в Афинах. Жители города со временем древесину, из которой он был сделан, заменили на новую, так как старая прогнила. Можно ли данный корабль по-прежнему считать судном Тесея, если почти все его части были заменены на новые?
Настолько ли Бог всемогущ?
Вопрос веры в существование Бога во все времена был спорным. А если он действительно настолько могуч, что может сотворить скалу, которую сам не способен поднять, то почему на свете существует зло?
Парадоксы о Боге заключаются еще и в том, что если он существует и при этом всеведущ, то как при этом у человека может быть свобода воли?
Удивительный рог
Если взять кривую y = 1/x и провернуть по горизонтальной оси, то получится фигура, названная «рог Гавриила». Параметры ее таковы, что она очень длинная, у нее невероятно большой, но конечный объем, тогда как площадь поверхности бесконечна.
Рог можно наполнить конечным количеством вещества, но чтобы покрасить его поверхность, потребуется бесконечное количество краски.
Гетерологический, значит "не описывающий себя"
Бертрам Рассел внес существенный вклад в развитие математической логики, создав этот парадокс. Примером гетерологического слова может служить термин «глагол», который не объясняет себя, так как по свой сути является существительным (при этом термин «существительное» таковым и является, то есть объясняет себя).
Другой пример: прилагательное «длинный» на самом деле не является длинным словом, тогда как «короткий», таковым и является.
Прилагательное «гетерологический» применимо к слову, которое само себя не описывает. В таком случае, к какой категории относится само прилагательное? Описывает ли оно свою суть?
Парадокс Йоссариана
Пилоты могут быть освобождены от боевой службы, если они психически больны, но не любой пилот, оставивший службу, является сумасшедшим.
Данный парадокс появился благодаря герою сатирического романа «Уловка-22» Джозефа Хеллера. Удивительным является понимание, что человек может получить то, чего хочет, только тогда, когда этого не желает. С подобным парадоксом столкнулся Йоссариан при прохождении проверки на профпригодность. Достаточно ему было обнаружить один парадокс, как он стал замечать их повсюду.
Каждое число чем-то интересно
Парадокс интересных чисел заключается в том, что в каждом из них есть что-то особенное. Например, 1 - это первое в ряду ненулевое число, 2 - самое маленькое простое число, 3 - первое нечетное простое и т. д. Таким образом, спустя тысячи комбинаций можно прийти к числу, в котором нет ничего особенного. Но парадокс в том, что само понятие «неинтересное число» делает его интересным.
Натаниэль Джонстон при исследовании квантовых вычислений отказался от понятия «интересный» в качестве интуитивно найденного, он ввел для целочисленных последовательностей, в которые входят все существующие комбинации цифр, выявление действительно интересного целого числа.
Так, первым неинтересным числом, цифры в котором не отображалась ранее ни в одной из последовательностей, стало 11630.
Парадокс клиентов бара
В баре всегда есть человек, уверенный, что если он пьет здесь, значит, и все присутствующие тоже пьют.
Парадоксом может стать даже пьянство. За его основу можно взять утверждение, что 1 человек, пьющий в баре, заставляет пить всех, кто в него пришел. Противоречие в том, что если все в баре пьют, но один отдельный клиент этого не делает, то при условии, что он выпьет, он сделает так, что вывод, что пьют все, станет верным.
Парадокс сферы
Из шара, разрезанного на конечное количество кусочков, можно собрать 2 шара одного размера.
Этот парадокс Банаха-Тарского - лишь математическая теория. Если взять круглый предмет и поломать на части, то из них можно собрать 2 меньших круглых предмета одинакового размера. Это касается деления такого геометрического тела, как сфера. Но если взять круглое яблоко и разрезать его на кусочки, то из них невозможно собрать 2 новых яблока одинаковых размеров.
Парадокс картофелины
100-граммовый картофель - это 99% воды, но если он усохнет до 98%, то вес его составит 50 г. Парадокс в том, что если выпарить из картошки воду до 98%, то на 1 г сухого вещества придется уже 2% веса. При этом, новый процент данного вещества будет соответствовать картофелине весом 50 г.
Парадокс совпадений
Если в комнате собрать 23 человека, то есть шанс, что у двоих из них дни рождения совпадают. Вероятность этого превышает 50%. В то же время, если в помещении всего 2 человека, то такова вероятность всего 1/365. При этом следует учитывать разницу в один день, если год високосный. У 3 человек шанс совпадения дней рождения равен 364/365 x 363/365 и т. д.
Парадокс дружбы в соцсетях
Большинство людей имеют меньше знакомых, чем у их друзей. Этот парадокс касается социальных сетей. Может, это удивительно, но это - математический факт: если изучить количество друзей у большинства людей в соцсетях, то их будет всего несколько. В то же самое время у нескольких людей добавлено в среднем большее количество друзей.
Парадокс перемещения во времени
Физика, работающего над машиной времени, посещает более старая версия его самого и дает нужные чертежи. Молодая версия по ним создает устройство. В процессе работы он становится своей старой версией, которая отправляется к более молодой.
Эта ситуация похожа на логический парадокс с убитым дедушкой, когда, вместо того чтобы вернуться, чтобы запретить себе возвращаться, объект поэтапно становится то молодой, то старой версией себя, путешествуя во времени. Этот парадокс использован в рассказе Роберта Хайлайна «По пятам».
Парадокс уникальности
По данным НАСА, полученным со спутника Kepler, во вселенной находится примерно 11 миллиардов планет земного типа. Означает ли это, что Земля не уникальна и где-то неподалеку (в космических масштабах) от нас есть жизнь, подобная нашей?
Человечество постоянно передает теле-, радио- и другие сигналы, которые уходят в космос. Значит, будь там кто-то, они бы тоже издавали звуки, но там тишина.
Если цивилизации существуют миллионы лет, то они должны были колонизировать галактики, что уже обнаружилось бы.
Парадокс Ферми в том, что сложные формы жизни крайне редко встречаются, а высокотехнологические цивилизации сами уничтожают себя либо войнами, либо техногенными катастрофами. Означает ли это, что жизнь на Земле, полной сложных форм, уникальна?
Математика полна сюрпризов и парадоксов. Это те ситуации, когда в рамках той или иной математической теории доказываются два взаимно исключающих друг друга утверждения.
Самое Интересное предлагает вашему вниманию 7 самых противоречивых математических парадоксов.
Парадокс №1. Парадокс Монти Холла
Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, №1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, №3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь №2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Решить парадокс Монти Холла в свою пользу можно простым способом – всегда менять выбранную дверь! После открытия первой двери, за которой скрывалась одна из коз, становится ясно, что машина прячется за одной из оставшихся двух дверей (хотя мы и не знаем, за какой именно). Большинство участников шоу не видят преимущества в смене двери, полагая, что их шансы на победу остались все те же – 33.3%. Однако это не так! На самом деле, шансы на выигрыш автомобиля после изменения первоначального выбора возрастают в два раза. Да, первоначально шансы выиграть авто равняются 33.3% при любом выборе, однако после открытия одной из дверей с козой, шансы того, что автомобиль скрывается за оставшейся, третьей дверью, - 66.6%.
Легче всего подсчитать эти вероятности, если представить, что вы выбираете между «своей» дверью (вероятность 33.3%) и комбинированными вероятностями двух оставшихся дверей (66.6% соответственно). Ведь когда вы выбираете одну из дверей, вероятность того, что автомобиль за какой-то из двух других, равняется 66.6% - и когда за одной из этих дверей оказывается коза, вероятность для оставшейся остается 66.6%.
Парадокс №2. 0,9999…=1
0,(9) или 0,999 («ноль и девять в периоде») - периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами, 1=0{,}(9).
У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.
Одно из них:
Парадокс №3. Парадокс дней рождения
Парадокс дней рождения - утверждение, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50%. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99%, хотя 100% она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет - 367).
Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу, так как вероятность одному родиться в определённый день года довольно мала, а вероятность того, что двое родились в конкретный день - ещё меньше, но является верным в соответствии с теорией вероятностей. Таким образом, оно не является парадоксом в строгом научном смысле - логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.
Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть 23 × 22/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.
Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим - похожим, на первый взгляд, - случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.
Парадокс №4. Задача трех узников
Трое заключённых, A, B и С заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: «Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C».
Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён.
Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3, как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнен. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А - 1/3, а его вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?
Неправильный ответ заключается в том, что заключённый A не получил информацию о своей собственной судьбе. Заключённый A до того, как спросить стражника, оценивает свои шансы как 1/3, так же как B и C. Когда стражник говорит, что B будет казнён, это всё равно, что вероятность того, что С помилован (вероятность 1/3) или A помилован (вероятность 1/3), и монета, выбиравшая между B и C, выбрала B. (Вероятность - 1/2; в целом вероятность того, что назван B - 1/6, поскольку A помилован). Поэтому, узнав, что B будет казнён, заключённый A оценивает шансы на помилование таким образом: его шансы теперь - 1/3, но теперь, зная, что B точно будет казнён, шансы С на помилование теперь 2/3.
Правильный ответ заключается в том, что после получения информации от стражника о казни В, шансы на помилования В равны нулю. Потому что только в двух случаях охранник мог произнести имя В - в случае помилования С и в случае, если подброшенная монетка выпала на В. Но какой из двух случаев определил указание охранником осуждённого В как такого, что будет казнён не известно. За условиями задачи, охранник не мог назвать имя заключённого А как такого, что будет казнён. Поэтому заключённый А ничего не узнал о собственной судьбе. Первоначальные условия его неизвестности не изменились. Изменились лишь условия для заключённых С и В. Первый еще имеет шанс на помилование, а второй уже точно будет казнён.
Парадокс №5. Закон Бенфорда
Закон Бенфорда или закон первой цифры гласит, что в таблицах чисел, основанных на данных источников из реальной жизни, цифра 1 на первом месте встречается гораздо чаще, чем все остальные. Более того, чем больше цифра, тем меньше вероятности, что она будет стоять в числе на первом месте.
Если же вы посмотрите на реальные цифры, то заметите, что «9″ встречается гораздо реже, чем в 11% случаев. Также куда меньше цифр, чем ожидалось, начинается с «8″, зато колоссальные 30% чисел начинаются с цифры «1″. Эта парадоксальная картина проявляется во всевозможных реальных случаях, от количества населения до цен на акции и длины рек.
Закон Бенфорда был открыт вовсе не Бенфордом, а американским астрономом Шимоном Ньюкомбом. Примерно в 1881 г. Ньюкомб заметил, что страницы тетради с логарифмическими таблицами, на которых числа начинались с 1, гораздо сильнее захватаны и истрепаны, чем страницы, на которых числа начинались с 2 и так далее до 9 – те выглядели чистыми, как будто их вообще не открывали. Ньюкомб предположил: те страницы, которые больше всего истрепались, чаще всего и открывали, и на основании своих наблюдений заключил: те ученые, которые до него брали тетрадь, работали с данными, отражавшими подобное распределение цифр. Закон же был назван по фамилии Франка Бенфорда, который в 1938 г. заметил то же самое, что и Ньюкомб, когда просматривал логарифмические таблицы в научно-исследовательской лаборатории «Дженерал Электрик» в г. Скенектади, штат Нью-Йорк. Он обнаружил, что частота появления цифры в качестве первой падает по мере того, как цифра увеличивается от одного до девяти. То есть «1″ появляется в качестве первой цифры примерно в 30,1% случаев, «2″ появляется около 17,6% случаев, «3″?-?примерно в 12,5%, и так далее до «9″, выступающей в качестве первой цифры всего лишь в 4,6% случаев.
Чтобы понять это, представьте себе, что вы последовательно нумеруете лотерейные билеты. Когда вы пронумеровали билеты от одного до девяти, шанс любой цифры стать первой составляет 11,1%. Когда вы добавляете билет № 10, шанс случайного числа начаться с «1″ возрастает до 18,2%. Вы добавляете билеты с № 11 по № 19, и шанс того, что номер билета начнётся с «1″, продолжает расти, достигая максимума в 58%. Теперь вы добавляете билет № 20 и продолжаете нумеровать билеты. Шанс того, что число начнётся с «2″, растёт, а вероятность того, что оно начнётся с «1″, медленно падает.
Дорога к истине вымощена парадоксами. Чтобы постигнуть
Действительность, надо видеть, как она балансирует на канате.
О. Уайльд
В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах, и в повседневной речи, и в художественной литературе. Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по- разному в разных ситуациях. Библер В.С. замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых различных смыслах - от чисто словарного и повседневного, наиболее осознанного в парадоксах теории множества». Трактование парадокса как ошибки иногда приводит к тому, что его путают с другими понятиями, которые тоже обозначают ошибки, но несколько иного рода. Сухотин А.В. пишет: « Парадокс рожден в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия познания. Ошибки бытуют разные. Одни из них непроизвольны. Человек и не хотел бы ошибаться, да не получается. Как будто рассуждение логично, проведено правильно и, тем не менее, дает сбой». Другие - наоборот «делаются умышленно с намерением ввести кого- то в заблуждение». Для данной работы важно рассмотреть данные понятия поподробнее, чтобы отделить парадокс от смежных, «соседних» явлений. Парадоксальные суждения привлекают внимание исследователей, занимающихся математической логикой. Их интерес обращен к таким суждениям, которые, несомненно, абсурдны, а в то же время, казалось бы, доказаны с безупречной логикой.
В широком смысле парадокс - это положение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися, ортодоксальными мнениями. «Общепризнанные мнения и то, что считают делом давно решенным, чаще всего заслуживают исследования» - говорил Лихтенберг Г. Парадокс - начало такого исследования.
Парадокс в более узком и специальном значении - это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Парадокс - это всегда полуправда и это, как говорил Оскар Уайльд, «лучшее, чего мы можем достичь, потому, что абсолютных правд не существует». Парадокс своей стилизованной формой напоминает афоризм. В парадоксе привычная истина рушится на глазах и даже высмеивается. Например, «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы- прекрасный человек!» (Уайльд О.).
Наиболее резкая форма парадокса - антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.
Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс - истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов. Парадоксальный вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга, в котором оказалось наше рассуждение и искать иной путь.
Примеры парадоксов:
Скромный.
Кто – то должен назвать всех скромных людей. Если в их число он включит самого себя, то получается, что он уже не скромный и не должен фигурировать в этом списке. Если он не назовет себя, то это будет характеризовать его как скромного, значит он должен себя назвать как одного из скромных людей. Парадокс.
Варианты парадокса «Лжеца»
Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс «Лжец». Он - то главным образом и прославил имя открывшего его Евбулида из Милета.
Имеются варианты этого парадокса, или антиномии, многие из которых являются только по видимости парадоксальными.
В простейшем варианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Или: «Это высказывание ложно».
Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.
В средние века распространенной была такая формулировка:
- Сказанное Платоном - ложно, - говорит Сократ.
- То, что сказал Сократ, - истина, - говорит Платон.
Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?
А вот современная перефразировка этого парадокса. Допустим, что на лицевой стороне карточки написаны только слова: «На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание». Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы должны либо обнаружить обещанное высказывание, либо его нет. Если оно написано на обороте, то оно является либо истинным, либо нет. Однако на обороте стоят слова: «На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание» - и ничего более. Допустим, что утверждение на лицевой стороне истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение на лицевой стороне ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге - парадокс.
Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.
Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.
В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.
В новое время «Лжец» долго не привлекал никакого внимания. В нем не видели никаких, даже малозначительных затруднений, касающихся употребления языка. И только в наше, так называемое новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие, как представляется, за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в строгих терминах.
Теперь «Лжец» - этот типичный бывший софизм - нередко именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.
Сейчас «Лжец» обычно считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смешение двух языков: языка, на котором говорится о лежащей вне его действительности, и языка, на котором говорят о самом первом языке.
В повседневном языке нет различия между этими уровнями: и о действительности, и о языке мы говорим на одном и том же языке. Например, человек, родным языком которого является русский язык, не видит никакой особой разницы между утверждениями: «Стекло прозрачно» и «Верно, что стекло прозрачно», хотя одно из них говорит о стекле, а другое - о высказывании относительно стекла.
Если бы у кого - то возникла мысль о необходимости говорить о мире на одном языке, а о свойствах этого языка - на другом, он мог бы воспользоваться двумя разными существующими языками, допустим русским и английским. Вместо того, чтобы просто сказать: «Корова - это существительное», сказал бы «Корова is a noun», а вместо, «Утверждение «Стекло не прозрачно» ложно» произнес бы is false». При таком использовании двух разных языков сказанное о мире ясно отличалось бы от сказанного о языке, с помощью которого говорят о мире. В самом деле, первые высказывания относились бы к русскому языку, в то время как вторые - к английскому.
Если бы далее нашему знатоку языков захотелось высказаться по поводу каких-то обстоятельств, касающихся уже английского языка, он мог бы воспользоваться еще одним языком. Допустим немецким. Для разговора об этом последнем можно было бы прибегнуть, положим, к испанскому языку и так далее.
Получается, таким образом, своеобразная лесенка, или иерархия, языков, каждый из которых используется для вполне определенной цели: на первом говорят о предметном мире, на втором - об этом первом языке, на третьем - о втором языке и так далее. Такое разграничение языков по области их применения - редкое явление в обычной жизни. Но в науках, специально занимающихся, подобно логике, языками, оно иногда оказывается весьма полезным. Язык, на котором рассуждают о мире, обычно называют предметным языком. Язык, используемый для описания предметного языка, именуют метаязыком.
Ясно, что, если язык и метаязык разграничиваются указанным образом, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано. Оно говорит о ложности того, что сказано на русском языке, и, значит, относится к метаязыку и должно быть высказано на английском языке. Конкретно оно должно звучать так: («Все сказанное мной по-русски ложно»); в этом английском утверждении ничего не говорится о нем самом, и никакого парадокса не возникает.
Различение языка и метаязыка позволяет устранить парадокс «Лжеца». Тем самым появляется возможность корректно, без противоречия определить классическое понятие истины: истинным является высказывание, соответствующее описываемой им.
3) Но самый знаменитый парадокс это, пожалуй, парадокс Ахилла и Черепахи. Ахилл - герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее, Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху - Ѕ. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи. Тогда, пробежав расстояние Ѕ, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ј и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и так далее. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Знающие математический анализ обычно указывают, что ряд сходится к 1. Поэтому, дескать, Ахилл преодолеет весь путь за конечный промежуток времени и, безусловно, обгонит черепаху. Но вот что пишут по данному поводу Д. Гильберт и П. Бернайс:
«Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить, на самом деле все-таки должна завершиться».
Принципиальная незавершаемость данной последовательности заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем указать и следующий за ним.
4) Дихотомия. Рассуждение очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь, движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть эту половину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности. Иными словами, при тех же условиях, что и в предыдущем случае, мы будем иметь дело с перевернутым рядом точек: (Ѕ)n, ..., (Ѕ)3, (Ѕ)2, (Ѕ)1. Если в случае апории Ахилл и черепаха соответствующий ряд не имел последней точки, то в Дихотомии этот ряд не имеет первой точки. Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А поскольку движение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет.